Logaritme

Har du overvejet at læse om det i din bog?

Din mat.-bog er simpelthen det helt rigtige sted :-)

Helt fra bunden, har vi

log_λ a = b  ⇔  λ^b = a .   λ er positiv og ≠ 1 og kaldes grundtallet for logaritmen .  a > 0 ,  b ∈ R .

Helt fra bunden foretrækker jeg definitionen for den naturlige logaritmefunktion ved

ln(x) = ₁∫^x (1/t) dt , x > 0 .

Man får heraf for x , y > 0,

ln(x·y) = ₁∫^xy (1/t) dt = ₁∫^x (1/t) dt + _x∫^xy (1/t) dt . I det sidste integral benytter man substitutionen u = t/x , du = (1/x) dt , og får så

ln(x·y) = ₁∫^xy (1/t) dt = ₁∫^x (1/t) dt + _x∫^xy (1/t) dt = ₁∫^x (1/t) dt + ₁∫^y (1/(xu))·x du

                                   = ₁∫^x (1/t) dt + ₁∫^y (1/u) du

                                   = ln(x) + ln(y)

som er den grundlæggende regneregel for logaritmer.

Endvidere får man umiddelbart af definitionen, at

(ln(x))' = 1/x

og man ser, at (ln(x))' > 0 for x > 0 . Funktionen ln(x) er derfor monotont voksende for x > 0 , og der gælder

ln(1) = ₁∫¹ (1/t) dt = 0 .

# 4 :  Jeg vil mene, det er et alt for højt niveau at starte på. Iflg. trådstarter har vedkommende ikke haft matematik i mange år og udtrykker at have svært ved det. Har sikkert kun brug for at få nogle få formler til at kunne anvende logaritmerne i ret simple produkter, divisioner, potenser og  roduddragninger.

# 0    Fortsæt hellere i kun en af de to paralleltråde du har kørende.

se endvidere

men det ændrer ikke ved,
at svar #4 er aldeles fagligt grundlæggende

# 7  Det er ikke dér, man starter ved førstegangskendskabet til logaritmerne, som jeg ser trådstarter giver udtryk for. Analysen og eksistensbevis kommer først på et senere tidspunkt i den logaritmiske karriere.

# 4 er aldeles suverænt for mange medlæsere på tråden.

Jeg må indrømme at jeg ikke forstår det. Kan logaritme forklares på en anden måde? Jeg har ikke haft matematik siden 9 kl. og det er 15 år siden :-(

Lidt pædagogisk; Logaritme er en sjov ting man fx kan bruge til en funktion.

Funktionen f af x med logaritme ser således ud   f(x) = log(x). Tegn en graf for det, så kan du aflæse funktionsværdier for ens x-koordinat, dvs hvad f(1), f(2) .. osv. giver. Brug et program til at tegne det for dig.

Den gode ting ved det er, at løse en ligning hvis det eksempelvis kommer til potens;

log(x^a) = a·log(x)

Eksemplet for opgave er, at du løser ligningen mht. x, at      10 = 3^x

Du sætter log() på hver sider, får du       log(10) = log(3^x)

hvilket giver på højre side, at log(3x) = x·log(3)      (HUSK kig op, at log(x^a) = a·log(x))

Det vil sige, at      log(10) = x·log(3)

Nu skal du så isolere x, får du så

x = log(10)/log(3)

Tag din lommeregner frem og bestem det. Vi får

x = 2.0959.

Vi kigger tilbage, hvor vi har

3^x = 10          Indsætter vi den fundne værdi for at tjekke om det er korrekt 

3^2.0959 ≈ 10? Ja, det gør det!

# 10  Det er slet ikke dér, trådstarter er lige nu.

#  9

Lad os stille os opgaven,  10·1000 . Vi ved jo godt, det skal give 10000. Lad os nu sige, at det ved vi ikke.

I stedet kan vi omskrive 10 til 10¹ (10 i første). Det lille et-tal fortæller, at 10 skal ganges én gang med sig selv.

I stedet kan vi omskrive 1000 til 10³ (10 i tredje). Det lille et-tal fortæller, at 10 skal ganges tre gange med sig selv.

I stedet kan vi omskrive 10000 til 10⁴ (10 i fjerde). Det lille et-tal fortæller, at 10 skal ganges fire gange med sig selv.

Alt i alt ser vi,       10¹·10³ = 10^{1 + 3}  = 10⁴         1, 3 og 4  kaldes logaritmerne.

Jeg er begyndt at forstå det lidt :-) Mange tak

      overvej hvordan du vil løse

                                                                      12 = 3^x

     klargør dig hvordan pH beregnes

Jeg kan regne ud på Word Mat at 12 = 3^x  er ensbetydende med at x = 2,26

Men det derudover ved jeg ikke hvad jeg skal gøre :-(

Tak fordi du forsøger at hjælpe mig.

Nybegynderen :-)

# 14 (og 13)

Løs nu, uden hjælpemidler, ligningen  12 = 3^x  ud fra det, du nu ved om logaritmer.

Gør desuden rede for, hvad der forstås ved  pH.

Den pædagogiske linje på SP er, undertiden, under lavmålet.

Måske bør det her bringes i erindring, at konceptet med SP IKKE er undervisning, men derimod lektiehjælp.

At skulle læse et 15 år gammelt pensum op påny, har simpelthen intet med lektiehjælp at gøre.

Naturligvis vil der derfor være forskel på pædagogikken i en begynder/undervisningssituation og en hjælpesituation, hvor spørgeren ikke er helt blank, men bekendt med de almindeligste udtryk indenfor emnet, og blot behøver et 'skub'.

Jeg må således fastholde, at # 2 og # 3 til trods for en masse snak frem og tilbage, er de to svar, der kommer tættest på den forventelige og nødvendige pædagogik på SP - man skal blot læse dem som de gode råd, de er - og ikke som nogensomhelst form for afvisning.

:-)

# 15 Endnu engang tak for din hjælp.

Vedrørende pH så kan baser og syrer ophæve hinanden. Det samme kan rod og potens. Det vil sige at:

12 = 3^x  <=> den x rod af 12 = 3

Jeg kunne ikke finde rodtegnet så jeg skrev det i stedet. Hvor er rodtegnet iøvrigt? 

Rodtegnet findes i "Indsæt et symbol" ovenover skrivefladen

5. sidste linje fra højre og 3. linje fra oven

^x√(12) = 3

Tak for det.

Vedr. svar 17 er jeg så ved at forstå noget :-)