Ekstremalværdisætningen

Jeg er igang med at forstå beviset, hvor der nøjes med at vise ens størsteværdi. Det punkt, der ønskes at vise

f(ξ) ≤ M ≤ f(ξ) + ε

således at det fører frem til M = f(ξ)

hvor M = sup{f[a,b]} og ξ ∈ [a,b]. Spørgsmålet er så, udtrykket "f(ξ) ≤ M" hvor M er overtal for f[a,b], og f(ξ) ∈ f[a,b] ; hvorfor skal dette udtryk netop opstilles på den måde? (Hvorfor ønsker man at vise det på den måde?) Jeg har forstået udtrykket "M ≤ f(ξ) + ε", der kom fra epsilon-delta egenskab.