Differentialligninger

Løs ligningen ved separation af de variable:

e^-y · dy/dx = 2x ,

og afpas integrationskonstanten, så at løsningens graf går gennem det angivne punkt.

hm, jeg er ikke helt med, altså :

y'= 2x * e^-y

y= e-y · dy/dx = 2x

½ y^2=½ x^2 + 2 k

det ovenstående ser forkert ud :/?

#2

Nej, y er ikke lig med e^-y · dy/dx = 2x . Differentialligningen omskrives til

e^-y · dy/dx = 2x , dvs

e^-y · dy = 2x dx ,

der så integreres til

∫ e^-y · dy = ∫ 2x dx , eller

-e^-y = x² + k ,

og dermed

y(x) = -ln(k - x²)

hvor k bestemmes af betingelsen y(0) = 1 .

Til #3

Af betingelsen y(0) = 1 findes så k = e^-1 , og dermed

y(x) = -ln(e^-1 -x²) ,

hvor der kræves x² < e^-1 , dvs -e^-1/2 < x < e^-1/2 .

#0

Er differentialligningen

y' = 2x · e^y  , eller

y' = 2x ·e^-y    ?

Måske punktummet i #0 skal være et minustegn? I så fald bliver løsningen

e^y = x² + k , dvs

y(x) = ln(k + x²) ,

hvor y(0) = 1 giver k = e , og dermed

y(x) = ln(e+x²) .