følge

Følgen {y_n} er kun defineret, såfremt x_n ≠ 0 for alle n. Der skal formodentlig gælde, at |L| < 1 . For ethvert ε > 0 findes da et N, så at

|x_n+1 / x_n| < |L| + ε for alle n > N .

Ved at vælge ε tilstrækkeligt lille, kan vi sikre, at |L| + ε < 1 , og dermed har vi, at

|x_n+1 / x_n| < 1 for alle n > N , hvilket viser, at talfølgen {|x_n|} fra et vist trin N er monotont aftagende, og da den er nedadtil begrænset, er talfølgen {|x_n|} da konvergent.

Lad ξ være grænseværdien for den konvergente følge {|x_n|} . Da følgen {|x_n+1/x_n|} er konvergent med grænseværdi |L|, er følgen

 {|x_n|} · {|x_n+1/x_n|} = {|x_n+1|}

konvergent med grænseværdien ξ·|L| . Da talfølgen  {|x_n+1|} fremkommer af talfølgen  {|x_n+1|} ved at borttage det første element i følgen, har talfølgen  {|x_n+1|} derfor også grænseværdien ξ . Vi har derfor, at

ξ·|L| = ξ , eller

ξ·(1 - |L|) = 0 ,

og da |L| < 1, er 1 - |L| ≠ 0, og det følger derfor, at ξ = 0 . 

Følgen {|x_n|} er derfor konvergent med grænseværdi 0, og heraf følger, at også følgen {x_n} er konvergent med grænseværdi 0 .

Det hele giver mening, men jeg kan altså ikke se, hvordan du indser at følgen er nedadtil begrænset :(

Jeg havde faktisk ikke sagt at det var en følge af positive tal, men det har du faktisk ret i, at jeg havde overset :) I min bog står der ikke numerisk L, men det er vel også ligefedt når alle x er strengt positive. 

#4

Jeg har ikke antaget, at følgen {x_n} består af ikke negative elementer, men jeg har måttet antage, at |L| < 1, og at ingen af elementerne i {x_n} er lig med 0. Jeg viser så, at følgen {|x_n|} er konvergent med grænseværdi 0, og slutter så, at følgen {x_n} også er konvergent med grænseværdi 0. Det er følgen {|x_n|}, der er monotont aftagende og nedadtil begrænset.