Matematik
Procentregning...
11. oktober 2005 af
Nico.. (Slettet)
Kan i hjælpe mig med denne opgave..?
En bil købes til 100 000 kr. Bilen forringes det første år med 20 %, og derefter med 10 % om året. Hvor mange procent er bilens værdi faldet på 8 år? Hvor mange procent har det gennemsnitlige årlige værdifald været på bilen? Hvilken værdi har bilen efter 10 år
En bil købes til 100 000 kr. Bilen forringes det første år med 20 %, og derefter med 10 % om året. Hvor mange procent er bilens værdi faldet på 8 år? Hvor mange procent har det gennemsnitlige årlige værdifald været på bilen? Hvilken værdi har bilen efter 10 år
Svar #1
11. oktober 2005 af Therackoo (Slettet)
Jeg vil tro at man gør sådan her ( men jeg er ikke sikker! :D)
100000*20% = 20000
100000-20000 = 80000
kn = k/(1 + x)^n
80000/(1+0,1)^7 = 41052,65
80000-41052,65 = 38947,35
Er mit bud?
Så lad os se om nogen retter det...
100000*20% = 20000
100000-20000 = 80000
kn = k/(1 + x)^n
80000/(1+0,1)^7 = 41052,65
80000-41052,65 = 38947,35
Er mit bud?
Så lad os se om nogen retter det...
Svar #2
11. oktober 2005 af fixer (Slettet)
a)
Bilens købsværdi kalder vi k0.
Dens værdi efter 1. år, k1, er da:
k1 = 0.8*k0
efter 2. år
k2 = 0.9*k1 = 0.9*0.8*k0
efter 3. år
k3 = 0.9*k2 = ((0.9)^2)*k1 = ((0.9)^2)*0.8*k0
eller helt generet efter n år
kn = 0.8*((0.9)^(n-1))*k0
Efter 8 år er bilens værdi derfor
k8 = 0.8*((0.9)^7)*100000 kr = 38264 kr
b) Når der tales om den gennemsnitlige årlige prisforringelse menes der den procentsats, der, når den er konstant år efter år, vil resultere i at bilen har samme værdi efter 8 år, som den værdi vi lige har beregnet.
Ovenfor har jeg anvendt det forhold, at hvis en størrelse K falder med r %, så er dens størrelse K1 efter faldet lig med
K1 = (1-r/100)K
Sammenholdt med ovenstående fremgangsmåde ser vi nu umiddelbart, at hvis prisfaldet er konstant, så er bilens pris efter n år, kn, lig
kn = ((1-r/100)^n)K0
Vi skal altså løse ligningen
k8 = 38264 <=>
((1-r/100)^8)*100000 = 38264
Bestem r af denne ligning [Svar: r er ca 11 %].
Jeg skal ikke kunne udelukke opgaven sigter på at få dig til at regne en tilnærmet værdi ud ved at argumentere for at det gennemsnitlige årlige procentuelle prisfald er (20% + 7*10%)/8.
c)
Beregn
k10 = 0.8*((0.9)^9)*100000 jvf spm. a)
Bilens købsværdi kalder vi k0.
Dens værdi efter 1. år, k1, er da:
k1 = 0.8*k0
efter 2. år
k2 = 0.9*k1 = 0.9*0.8*k0
efter 3. år
k3 = 0.9*k2 = ((0.9)^2)*k1 = ((0.9)^2)*0.8*k0
eller helt generet efter n år
kn = 0.8*((0.9)^(n-1))*k0
Efter 8 år er bilens værdi derfor
k8 = 0.8*((0.9)^7)*100000 kr = 38264 kr
b) Når der tales om den gennemsnitlige årlige prisforringelse menes der den procentsats, der, når den er konstant år efter år, vil resultere i at bilen har samme værdi efter 8 år, som den værdi vi lige har beregnet.
Ovenfor har jeg anvendt det forhold, at hvis en størrelse K falder med r %, så er dens størrelse K1 efter faldet lig med
K1 = (1-r/100)K
Sammenholdt med ovenstående fremgangsmåde ser vi nu umiddelbart, at hvis prisfaldet er konstant, så er bilens pris efter n år, kn, lig
kn = ((1-r/100)^n)K0
Vi skal altså løse ligningen
k8 = 38264 <=>
((1-r/100)^8)*100000 = 38264
Bestem r af denne ligning [Svar: r er ca 11 %].
Jeg skal ikke kunne udelukke opgaven sigter på at få dig til at regne en tilnærmet værdi ud ved at argumentere for at det gennemsnitlige årlige procentuelle prisfald er (20% + 7*10%)/8.
c)
Beregn
k10 = 0.8*((0.9)^9)*100000 jvf spm. a)
Svar #3
11. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)
Lad I_n betegne bilens indeksværdi det n'te år (n >= 0, n hel) efter købet.
Ansæt I_0 = 100 og lad r_n betegne den procentvise værditilvækst det n'te år efter købstidspunktet.
Indse (jf. i øvrigt #2), at
I_n = I_0*(1 + r_0)*(1 + r_1)*...*(1 + r_n)
hvor, ifølge opgaveteksten,
r_0 = 0
r_1 = -0,2
r_n = -0,1 , n >= 2
Lidt mere kompakt haves derfor:
I_n = I_0*(0,8)*(0,9)^(n-1), n >= 1
Bemærk, at der i første spørgsmål spørges til det samlede procentvise tab i værdi efter 8 år; med andre ord
I_0 - I_8.
Andet spørgsmål besvares bekvemt på baggrund af løsning af ligningen
I_8 = I_0*(1 + r)^8
hvor r betegner den gennemsnitlige, årlige, procentvise værditilvækst, som efter 8 år resulterer i den netop beregnede indeksværdi, I_8.
//Epsilon
Ansæt I_0 = 100 og lad r_n betegne den procentvise værditilvækst det n'te år efter købstidspunktet.
Indse (jf. i øvrigt #2), at
I_n = I_0*(1 + r_0)*(1 + r_1)*...*(1 + r_n)
hvor, ifølge opgaveteksten,
r_0 = 0
r_1 = -0,2
r_n = -0,1 , n >= 2
Lidt mere kompakt haves derfor:
I_n = I_0*(0,8)*(0,9)^(n-1), n >= 1
Bemærk, at der i første spørgsmål spørges til det samlede procentvise tab i værdi efter 8 år; med andre ord
I_0 - I_8.
Andet spørgsmål besvares bekvemt på baggrund af løsning af ligningen
I_8 = I_0*(1 + r)^8
hvor r betegner den gennemsnitlige, årlige, procentvise værditilvækst, som efter 8 år resulterer i den netop beregnede indeksværdi, I_8.
//Epsilon
Skriv et svar til: Procentregning...
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.