arctan

Benyt, at tan(x) = sin(x) / cos(x) → ∞ for x → π/2^- . Funktionen tan(x) er monotont voksende i intervallet ]-π/2;π/2[ , og funktionen Arctan(x) er monotont voksende i hele R.

ja sådan tænkte jeg også, jeg ved bare ikke helt hvordan man formelt kan skrive det op.

Kunne man f.eks. skrive:

Givet ε. Da vil for alle x med lx-π/2l<ε gælde at tan(x)>M, hvor M er et bestemt tal. Vælg nu u>M. Da vil for alle x=arctan(u) med u>M gælde at lx-π/2l<ε, da også arctan er strengt voksende.

Hvis en funktion f(x) er kontinuert og strengt monoton, findes den omvendte funktion f^-1 ,
og hvis f(x) → b for x → a, vil f^-1(x) → a for x → b .

ja men strengt taget skal man vel argumentere med epsilon-delta argumenter.... det som jeg har prøvet :)

#4

Ikke nødvendigvis. Man vil benytte ε-δ terminologi for at bevise en generel sætning som den, der er formuleret i #3.

Man kan også benytte, at man måske allerede har vist, at restriktionen af funktionen tan(x) er en kontinuert, differentiabel, bijektiv afbildning af intervallet ]-π/2 ; π/2[ på hele R , og at tan(x) er en strengt voksende funktion.

Den omvendte funktion Arctan(x) eksisterer da, og den er kontinuert, differentiabel, strengt voksende og bijektiv fra R på ]-π/2 ; π/2[ .