Vektorer i rummet

     B = (1,2,-3)    ligger i den søgte plan β

      De ikke lineære vektorer

                                                    AB = [0,-1,-7]   og r = [-2,0,4]    ligger i β

      En normalvektor for β
      er derfor
                                                    n_β = AB x r = [-4,14,-2]

     β's punkter opfylder
                                                    n_β • AP = 0

                                                    [-4,14,-2] • [x-1,y-3,z-4] = 0

                                                    -4x + 14y - 2z -30 = 0                       som divideret med -2 giver

                                          β:       2x - 7y + z + 15 = 0

Den spidse vinkel mellem linjen l og planen α
er komplementærvinklen til den spidse vinkel mellem α's normalvektor n_α = [3,-1,2] og l's
retningsvektor r = [-2,0,4].
 

I b) brugte jeg et punkt B = (1,2,-3),
som næppe er identisk med det punkt B, som ønskes beregnet i d)
 

d)

        det søgte punkt B ligger på l
dvs
        skal opfylde
                                           x = 1 - 2t
                                           y = 2
                                           z = -3 + 4t

   og
               AB = [1 - 2t - 1, 2 - 3, -3 + 4t - 4] = [ -2t,-1,-7+4t] er ortogonal på r = [-2,0,4]

FriViden.dk har en række glimrende videoer om emnet [ LINK ]

#6

c) Den spidse vinkel mellem linien l og planen a bestemmes som komplementvinklen til vinklen mellem liniens retningsvektor og planens normalvektor.

d) Lad r være en retningsvektor for linien l. Bestem parameterværdien t for det punkt B på linien, for hvilket AB • r = 0 .

#8

Hvorfor prøver du ikke selv?

c) Retningsvektor for linien: r = [-2 , 0 , 4] ,

    normalvektor til planen: n = [3 , -1 , 2] .

Bestem først vinklen mellem de to vektorer r og n . Bestem så komplementvinklen til denne vinkel.

d) Se detaljerne i #4.

opfølgning på #4

                        AB = [ -2t,-1,-7+4t] er ortogonal på r = [-2,0,4]
dvs
                        AB • r = 0 = [ -2t,-1,-7+4t] • [-2,0,4]

                                              4t + 0 + (-28+16t) = 0

                                              4t -28+16t = 0

                                              20t = 28

                                              t = 1,4

        det søgte punkt B ligger på l
dvs
        skal opfylde
                                           x = 1 - 2t
                                           y = 2
                                           z = -3 + 4t

hvoraf
                                           x = 1 - 2 • 1,4      =  -1,8
                                           y = 2                   =    2,0
                                           z = -3 + 4 • 1,4    =   2,6

Bestem koordinaterne til det punkt B på linjen l, så AB er ortogonal på linjen l

                                          B = (-1.8 ; 2.0 ; 2.6)