Kompleksetalfølge

For talfølgen {a_n}: beregn |a₁| og dernæst |a_n| og find grænseværdien for {|a_n|}.

Benyt en tilsvarende fremgangsmåde for {b_n} og {c_n}.

a_n = (7i/10)ⁿ

Jeg ser at (7/10)ⁿ → 0 for n → ∞ og iⁿ → ∞ for n → ∞, så er a_n → 0·∞ = 0 for n → ∞. Jeg synes ikke det er en korrekt matematisk forklaring. Kan i forklare det bedre eller lære mig det?

#1 Ok prøver lige.

#2

Nej, det er ikke korrekt. Man har

a_n = ( (7/10)·(1+i) )ⁿ .

Heraf ses,

|a₁| = (7/10)·|1+i| = (7/10)·√2 < 1. Heraf ses igen, at

|a_n| = |a₁|n → 0 for n → ∞ , og dermed, at a_n → 0 for n → ∞

#2: Det er noget rent vrøvl, når du skriver "iⁿ → ∞ for n → ∞" . Der gælder jo, at |i| = 1, så |iⁿ| = 1 for alle n. Men talfølgen {iⁿ} har ingen grænseværdi, da elementerne bliver ved med at alternere mellem i, -1, -i og 1 .

Hver af de tre talfølger {a_n}, {b_n}, og {c_n} har formen

z_n = (r·e^iπ/4)ⁿ = rⁿ·e^inπ/4 ,

hvor 0 ≤ r = |z₁| .

Da |e^inπ/4| = 1 og e^inπ/4 er periodisk med perioden 8 (som funktion af n), er {z_n} konvergent med grænseværdi 0 , hvis r < 1, og ellers divergent.

Jeg tror jeg forstår lidt bedre. Er det fordi man skal omskrive det i en form før man kommer videre, sådan at

a_n = [7/10(1 + i)]ⁿ = ((7/10)√(2)·e^iπ/4)ⁿ?

Jeg fandt frem til |a_n| = |((7/10)√(2)|ⁿ. Da det er mindre end 1ⁿ, og vil derfor blive mindre for hver gang n bliver større, dermed konkluderer man at |a_n| → 0 for n → ∞.

Hvordan hænger det sammen, at a_n → 0 for n → ∞ når man har brugt en (funktions)afstand/modulus til at vise, det er konvergent frem for at vise funktionen er konvergent?

#5

Man behøver da ikke benytte den polære form for at vise, at |a_n| → 0. Som jeg viste i #3 er |a₁| = (7/10)·√2 < 1, og derfor gælder der, at |a_n| = |a₁|ⁿ → 0, for n → ∞ . Det eneste komplekse tal z, for hvilket |z| = 0, er tallet z = 0. Derfor kan man konkludere, at a_n → 0 for n → ∞ .

#6

Mange tak.

Hvad kan jeg sige om {c_n}? Jeg har fundet ud af, at dens modulus er lig 1, kan man så svare at det hverken er divergent eller konvergent? 

Forresten, hvad er 8-tallet af perioden som du har nævnt i #4?

#8

En talfølge, der ikke er konvergent, er divergent. Genlæs svaret i #4.

Talfølgen e^inπ/4 cykler gennem værdierne e^iπ/4 , e^i2π/4, e^i3π/4, e^i4π/4, e^i5π/4, e^i6π/4, e^i7π/4, og e^i8π/4 når n vokser gennem successive værdier af n.

#9

Ja, men jeg har fundet frem til at {a_n} er konvergent, {b_n} er divergent, så hvad er {c_n} ?

Da |c_n| = |1|ⁿ→ 1 for  n → ∞, kan man sige, at den er hverken konvergent eller divergent?

#10

Genlæs svaret i #9: En talfølge, der ikke er konvergent, er divergent.

Talfølgen {c_n} er ikke konvergent, da afstanden mellem to på hinanden følgende elementer er konstant. Talfølgen er altså divergent.

Man kan ikke ud fra at |c_n| = 1 slutte noget om konvergens eller divergens af selve følgen {c_n} .

Okay. Jeg troede at hvis afstanden var mindre end 1, er det konv. og hvis det er større end 1, så div. Jeg vidste ikke, at hvis afstanden var 1, ville det være div. Jeg misforstod det.

#12

|c_n| er ikke en afstand, men modulus for tallet c_n .

Talfølgen 1, 1, 1, 1, ...... (z_n = 1 for alle n) , er konvergent, og der gælder, at |z_n| = 1 for alle n.

Talfølgen z_n = iⁿ , (i, -1, -i, 1, ...), har også egenskaben |z_n| = 1, for alle n, men denne talfølge er divergent, da afstanden mellem to på hinanden følgende elementer er konstant.