Jordens masse

Det går galt allerede her:

"Hvis vi i Keplers 3. lov bruger enhederne år og AE vil konstanten blive lig centrallegmets masse i solmasser"

Dette gælder kun dersom centrallegemet virkeligt er Solen.

Helt generelt lyder Kepler's 3. lov

T^2 = (4pi^2/(GM))R^3

hvor M er massen af centrallegement, R afstanden fra dette ud til det kredsende objekt (hvis masse i formlen antages forsvindende ift centrallegemets) og T er omløbstiden for det kredsende objekt. Gravitationskonstanten G er en universel konstant.

For SAMME centrallegeme gælder altså

T^2 = KR^3, K konstant

Så snart centrallegement byttes ud, ændres K. Det er din fejl. Det forholder sig således, at hvis Solen er centrallegemet, så er K ~ 1, når enheden for masse er solmassen, enheden for tid er et siderisk år og enheden for afstand er 1 AU. Når centrallegemet er Jorden, og der benyttes de samme enheder, så er K meget, meget større.

Vi kan gennemregne det i detaljer. Først tager vi tilfældet med Solen som centralmasse. Som enhder anvender vi

M_sol = 1.985x10^30 kg
1 AU = 149597871000 m
1 år = 365,25*24*3600 s

Keplers tredie lov lyder:

T^2 = (4pi^2)/(GM_sol)R^3 (1)

For G finder vi med de nye enheder:

G = 6.672x10^(-11) Nm^2kg^(-2) =

6.672x10^(-11) kg*ms^(-2)m^2kg^(-2) =

6.672x10^(-11) m^3/(kgs^2) =

6.672x10^(-11) (AU/149597871000)^3/((M_sol/1.985x10^30)*(år/(365,25*24*3600))^2) =

39.397 AU^3/(M_sol*år^2)

Indsat i (1) får vi nu

T^2 = (4pi^2)/39.397 (år^2)/(AU^3) R^3

Men 4pi^2/39.397 ~ 1 så derfor gælder for Solen tilnærmelsesvist

T^2 = R^3

Prøv nu den samme øvelse med Jorden som centralmasse. Den eneste forskel i regningerne vil være at enheden for masse nu er M_jord

M_jord = 6.0x10^24 kg.

Du vil finde at K bliver betydeligt større.

Okay er ikke sikker på jeg er helt med :S:S
(copy-paste)
Keplers tredie lov lyder:

T^2 = (4pi^2)/(GM_sol)R^3 (1)

For G finder vi med de nye enheder:

G = 6.672x10^(-11) Nm^2kg^(-2) =

6.672x10^(-11) kg*ms^(-2)m^2kg^(-2) =

6.672x10^(-11) m^3/(kgs^2) =

6.672x10^(-11) (AU/149597871000)^3/((M_jord/6,0*10^(24))*(år/(365,25*24*3600))^2) =
Får jeg til 4,1397E(-42) Kan jeg ikke få til at passe. Vil du lave beregningerne for jorden som centralmasse??

Jeg forstætter fra sidste linie:

6.672x10^(-11) (AU/149597871000)^3/((M_jord/6,0*10^(24))*(år/(365,25*24*3600))^2) =

6.672x10^(-11)*(6,0*10^24)*(365,25*24*3600)^2/(149597871000)^3 AU^3/(M_jord*år^2) =

6.672x10^(-11) * 1784772,82 AU^3/(M_jord*år^2) =

1.1908x10^(-4) AU^3/(M_jord*år^2)

Heraf indsat i Kepler's 3. lov:

T^2 = 4pi^2/(1.1908x10^(-4)AU^3/(M_jord*år^2)*M_jord)* R^3 =

331528,41 AU^3/år^2 * R^3

Jeg har ikke sørget for at der overalt regnes med samme antal betydende cifre. Det må du selv lige gøre.

I denne formel kan du indsætte Månens omløbstid i år (27,74/365,25) og beregne R. Den vil have enheden AU. Prøv at gange den med 149597871 km og se om det ikke bliver ret tæt på Månens middelafstand fra Jorden.

Jeg kan se at det passer med middelafstanden. Dejligt, men... Jeg har bestemt massen af Jupiter ved at indsætte a i AE og T i år, i a^3/T^2 (Altså den form af keplers lov der gælder for solen) Hvordan kan det så gå til at jeg får Jupiters masse bestemt med en afv 9%. Dette kan forklares via vores fejlkilder da T og a er aflæst på en graf??
Et andet spørgsmål for at være 100% sikker, den opgave jeg enlig bliver stillet som lyder:
En beregning af Jordens masse efter de samme principper(Som forklaret med at indsætte i a^3/T^2 i AE og år) ud fra data om Månen.
For at løse denne opgave er mit gæt at jeg isolere i M_Jord i,
T^2 = (4pi^2/(GM_Jord))R^3
og derefter sætter ind?

a) Der vil givetvis være aflæsningsunøjagtigheder på spil som hovedårsag. Desuden udtaler Kepler's lov sig jo om ideelle ellipsebaner i et ideelt tyngdefelt. I virkeligheden perturberes planeternes baner qua hinandens tyngdfelter og er derfor ikke perfekte ellipser.

b) Hvordan har du bestemt Jupiters masse udfra

T^2 =(1 år^2/AU^3)*R^3

Vi regner jo netop i enheder af Solens masse, og planetmassen har vi negligeret.

Jeg ville blot isolere M_Jord af ligningen og så indsætte i SI-enheder.

b) Jeg har gjort som vores lære så pænt skriver. Han opskriver at hvis vi indsættre a i enheden AE og T i år i formlen a^3/T^2=kons så bliver denne konstant lige netop lig planetens masse.. Og det passer når jeg regner på det :S:S

Nu må du lige skrive præcist hvad du gør. Det kan ikke diskuteres at med de valgte enheder vil der for enhver planetbane om Solen gælde

T^2/a^3 = 1

For Jupiter haves:

T = 11.8 år
a = 5.2 AU

hvilket giver

(11.8)^2/(5.2)^3 = 0.99 ~ 1.00

Du kan ikke direkte bruge denne formel til at bestemme Jupiters masse. Prøv nu skridt for skridt, helt eksakt at skrive hvad du gør.

Det vil jeg gøre. Jeg skal via målinger på Jupiters måner (Io, Europa, Ganymedes og Castillo) bestemme massen af Jupiter. Jeg har ´fået bestemt omløbstiden og den halvestor akse for disse måner. Så skriver min lære at når vi regner i enhederne AE og år så vil den konstant vi får når vi regner a^3/T^2 være lig Jupiters masse i solmasser. Eksempel med månen Io:
a=2,8J.D(Jupiter Diameter)
T=42,3 Timer
Dette omregner vi til AE og år og indsætter:
(2,8/1047,6)^3/(42,3/(24*365,25)^2 =
8,238832158*10^(-4) M_sol =
8,238832158*10^(-4) * 1,99*10^(30) =
1,730587129*10^(27).
Dette stemmer nogenlunde overens med at M_Jup=1,899·10^(27).
Dette er fremgangsmåden jeg har gjort brug af. Men så tænker jeg ifølge det du skriver burde det vel ikke passe. Håber det er detaljerede nok.

Nu er jeg med. Du er ikke intereseret i den absolutte værdi af proportionalitetskonstanten omregnet til de nye enheder, blot forhold.

Så re det nok at betragte K3 på formen

T^2 = (k/M)a^3, k konstant (1)

M er massen af centrallegemet. Vi ved, at hvis M er M_Sol, og a = 1AU, så er omløbstiden netop 1 år, thi dette er netop data for Jorden. Så der gælder altså

(1 år)^2 = k/(M_Sol)(1 AU)^3

Vi danner nu forholdet mellem (1) og (2).

(T/1 år)^2 = (M_Sol/M)(a/1 AU)^3

Altså: med de valgte enheder vil

a^3/T^2 = M (3)

hvor M er centrallegemets masse i enheder af solmassen. Denne formel gælder uanset hvilket legemer der er centrallegemet, thi vi har taget den almene lov og blot skaleret enhederne.

Det betyder, at anvender du data (a,T) for Jupiter's måner, så vil forholdet a^3/T^2 (med a målt i AU og T i jordår) give dig Jupiters masse i enheder af solmassen.

Tilsvarende, benyttes data (a,T) for månen i (3) så vil M være centrallegemets (Jorden's) masse i enheder af solmassen.

Vi prøver for månen:

a = 384400 km
T = 27.23 døgn

heraf

a^3/T^2 =

(384400/149597871)^3/(27.23/365.25)^2 =

2.932e-6 solmasser =

2.932e-6 * 1.985x10^30 kg =

5.82x10^24 kg

Din eneste fejl i #0 er altså en regulær regnebøf. Jeg beklager at jeg misforstod dig.

Det gør skam intet. Det er dejligt for jeg kan jo se at jeg er blevet klogere, også har dagen da ikke været helt spildt. :D Jeg siger mange tak for hjælpen.