Matematik
Differentialligning
18. oktober 2005 af
Jonse (Slettet)
Jeg har brug for lidt hjælp til følgende opgave. Meget gerne også en forklaring af fremgangsmåden til løsningen.
Betragt differentialligningen
y´´+ 4y´+ 5y = 0
Bestem svingningstiden for systemet, som beskrives ved ligningen samt forholdet mellem to maximale udsving til samme side.
Håber nogen kan hjælpe. :)
Betragt differentialligningen
y´´+ 4y´+ 5y = 0
Bestem svingningstiden for systemet, som beskrives ved ligningen samt forholdet mellem to maximale udsving til samme side.
Håber nogen kan hjælpe. :)
Svar #1
18. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Jeg vil ikke gennemgå teorien, i må have lært at løse lineære, andenordens sædvanlige differentialligninger.
Så vides at samtlige løsninger bestemmes udfra den til differentialligningen svarende karakterligning.
Givet differentialligningen
y''+ay'+by=0 (1)
er karakterligningen
x2+ax+b=0
med diskriminanten d.
Når karakterligningen for differentialligningen (1) har negativ diskriminant (som i den konkrete opgave), kan den fuldstændige løsning til (1) skrives på formen
y(t)=Cexp(-½at)sin(½sqrt(-d)(t-t0))
hvor C og t0 er arbitrære integrationskonstanter.
Svingningstiden T bestemmes af periodiciteten af sinusfunktionen. T er jo defineret som løsning til ligningen
½sqrt(-d)(t+T-t0)=½sqrt(-d)(t-t0)+2pi
hvilket giver
T=2pi/(½sqrt(-d)
Forholdet mellem maksimaludslag til samme side findes ved at udnytte betydningen af T. Lad os antage der er maksimalt udslag til een af siderne til tiden t=t1. Da vil det næste maksimale udslag til samme side optræde præcist een svingningsperiode senere, altså til tiden t=t1+T.
Vi betragter således forholdet
y(t1)/y(t1+T) =
exp(-½at1)/exp(-½a(t1+T)) =
exp(½aT)
Bemærk at sinusfunktionen dropper ud af forholdet idet den jo netop antager samme værdi i t=t1 og t=t1+T.
Så vides at samtlige løsninger bestemmes udfra den til differentialligningen svarende karakterligning.
Givet differentialligningen
y''+ay'+by=0 (1)
er karakterligningen
x2+ax+b=0
med diskriminanten d.
Når karakterligningen for differentialligningen (1) har negativ diskriminant (som i den konkrete opgave), kan den fuldstændige løsning til (1) skrives på formen
y(t)=Cexp(-½at)sin(½sqrt(-d)(t-t0))
hvor C og t0 er arbitrære integrationskonstanter.
Svingningstiden T bestemmes af periodiciteten af sinusfunktionen. T er jo defineret som løsning til ligningen
½sqrt(-d)(t+T-t0)=½sqrt(-d)(t-t0)+2pi
hvilket giver
T=2pi/(½sqrt(-d)
Forholdet mellem maksimaludslag til samme side findes ved at udnytte betydningen af T. Lad os antage der er maksimalt udslag til een af siderne til tiden t=t1. Da vil det næste maksimale udslag til samme side optræde præcist een svingningsperiode senere, altså til tiden t=t1+T.
Vi betragter således forholdet
y(t1)/y(t1+T) =
exp(-½at1)/exp(-½a(t1+T)) =
exp(½aT)
Bemærk at sinusfunktionen dropper ud af forholdet idet den jo netop antager samme værdi i t=t1 og t=t1+T.
Skriv et svar til: Differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.