Matematik

Logistisk vækst - N's Maksimumsværdi

30. maj 2013 af hollybaabz (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej derude . Jeg har lige et lille spørgsmål angående logistisk vækst:

Først lidt baggrunds info :) :

En befolknings størrelse N(målt i millioner mennesker) som funktion af tiden t(målt i år) er givet ved en funktion N(t). En model for befolkningsudviklingen er givet ved differentialligningen

a) Beregn regneforskriften for N idet N(0)=113(altså 113 millioner)

Denne opgave har jeg dog lavet, hvor jeg har fået:

N(t)=62,5/(1-0,45*e^-0,025x)

Herefter bliver jeg spurgt:

Beregn N's Maksimumsværdi

Hvordan bærer jeg mig ad med dette?

På forhånd tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. maj 2013 af peter lind

Hvis du tegnede en graf af funktionen vil du se at den er monoton voksende. Det kan du også se af den afledede. Så se på hvad der sker når x ->∞

Svar #2
30. maj 2013 af hollybaabz (Slettet)

Når x går mod 0, så bliver der færre og færre ? (kan man sige det sådan?)

skal den hedde noget med N(0) ? eller hvordan? :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. maj 2013 af Eksperimentalfysikeren

Kan du ikke sende hele opgaveteksten.

Svar #4
30. maj 2013 af hollybaabz (Slettet)

En befolknings størrelse N(målt i millioner mennesker) som funktion af tiden t(målt i år) er givet ved en funktionN(t). En model for befolkningsudviklingen er givet ved differentialligningen:

dN/dt=(0,025-0,0004N)*N

a)
Beregn regneforskriften for N idet N(0)=113 (altså 113 millioner)
har jeg lavet.. se #0

b)
Beregn N(30) og beregn N's maksimumsværdi

N(30)=70,37

:) det er hvad der står

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. maj 2013 af mathon

Generelt
y ' = dy/dx = a • y • (M - y) a,M∈R₊ og 0<y<M

med løsningen
                                                         M
                                           y = ---------------
                                                1 + C•e^-a^•M^•x

størsteværdien for y '
findes af
y '' = d²(y)/dx² = 0 ⇒

y_o = M /2

Svar #6
30. maj 2013 af hollybaabz (Slettet)

dvs:

X₀=ln(-0,45*(M-1))
------------------------
0,0004*M

Hvad er mit M forresten ? :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
30. maj 2013 af mathon

         og
                x_o = ln(C) / (a•M)

Svar #8
30. maj 2013 af hollybaabz (Slettet)

Så hvordan finder jeg maksimumsværdien for N ? :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
30. maj 2013 af mathon

sammenhæng
y ' = dy/dx = a • y • (M - y) = y • (b - ay) b = a • M

M = b / a

hvorfor

dN/dt = (0,025-0,0004N)*N har

M = 0,025 / 0,0004 = 62,5

Svar #10
30. maj 2013 af hollybaabz (Slettet)

Så N's masksimum kommer til at hedde:

xo = ln(-0,45) / (0,0004•62,5)= ?

Brugbart svar (0)

Svar #11
30. maj 2013 af mathon

       Så N 's masksimum
       bliver
                                      y '_max = (M/2) • (0,025 - 0,0004 • (M/2)) = (62,5/2) • (0,025 - 0,0004 • (62,5/2))

Svar #12
30. maj 2013 af hollybaabz (Slettet)

Så y'max = 0,39?

Svar #13
30. maj 2013 af hollybaabz (Slettet)

Nogle der kan bekræfte?

Brugbart svar (0)

Svar #14
30. maj 2013 af 123434 (Slettet)

Følger lige med.

Skriv et svar til: Logistisk vækst - N's Maksimumsværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.