4.gradspolynomium, ekstrema

ikke i samme punkt. Den ene hale går jo nedad og den anden opad.

Ja, jeg tænkte også på om et 4.gradspolynomium kan have både et ekstremumspunkt og en vendetangent - altså fx et ekstremumspunkt ved x=1 og en vendetangent ved x=3..?

Lad mig sprede spørgsmålet ud til : findes der et 4. gradspolynimium der ikke har minimum 1 ekstrema?

Definer 4 gradspolynomiet p(x= x⁴ +ax³+ bx2+cx + d

Se om du kan finde en løsning hvor det gælder

p'(1) = 0, p''(1) ≠0, p'(3) = p''(3)  = 0

Det giver 3 ligninger med 4 ubekendte + en mere begrænset btingelse. Det burde kunne lade sig gøre

Løsning til #4 kunne f.eks. være:   x⁴ - 97/12 x³ + 75/4 x² - 9/4 x

#4 Glemte at anføre at der også skal gælde p'''(3)≠0. Hvis p''''(3) = 0 er der et ekstrema i x=3

Okay, I see! Tusind tak for hjælpen!! :)

Hvad så med et tredjegradspolynomium? Jeg har prøvet at udføre de samme beregninger, men der giver den intet svar.. Er det en umulighed at have både en vendetangent + et ekstremum i et tredjegradspolynomium?

Et 3 grads polynomium kan skrives som p(x) = x³+a*x²+b*x+c.

For nemheds skuld vælger jeg at vendepunktet skal være for x=0.

Hvis der skal være vandret vendetangent skal der gælde

p'(0) = p''(0) = 0, p'''(0)  ≠0. Den sidste er altid opfyldt.

Indsætter man dette får man a=b=0 hvilket giver polynomiet x³+c, som er monoton voksende og derfor ikke har noget ekstrema.

Hvis der må være skrå vendetangent  bliver  kravet p'(0) ≠0 og dermer  gælder  b≠0

Hvis der skal være ekstrema i x₀ må der gælde p'(x₀) = 0 <=> 3x₀²+b=0 Denne har altid en løsning  ≠ 0 for b <0. Da p''(x) = 6x ≠0 for x ≠0 vil polynomiet have et ekstrema eller rettere 2 ekstremaer

Tusind tak for hjælpen - tror jeg har forstået det nu.. :)