3,4 og 5 gradspolynomier

Der gælder at antal af nulpunkter for disse polynomier er højst graden af polynomiet. Er det et ulige polynomium er der mindst 1. Hvis alle koefficienter er hele tal, vil der for en rational rod gælde at tælleren går op i konstantleddet og nævneren går op i koefficienten til n'te grads leddet. Det betyder at man kan lave et systematisk gæt på rødder. Hvis man har fundet en rod r kan man dividere polynomiet med (x-r) og dermed få nedbragt graden af polynomiet.

Der findes metoder til analystisk at finde rødderne i 3. og 4. grads polynium men disse metoder vil du næppe blive spurgt om. For polynomier af højere grad findes der ingen metode til at finde rødderne analytisk. Jeg vil lige understrege at de ikke blot ikke kendes; men at de ikke eksisterer, så man aldrig vil kunne finde rødderne analytisk. Man er henvist til numeriske metoder eller gæt

Så hvis jeg for eksempel har en rod r=6 og et polynomium kaldet P₃(x)=4x^3+3x^2-2x+1 ville jeg kunne finde et systematisk gæt ved at sige 4x^3+3x^2-2x+1/(6-x) også løse det for x?   

Hvis du har roden r i n'te grads polynomiet p(x)  vil (x-r)  gå op i polynomiet q(x) = p(x)/(x-r) vil være et polynomium af grad n-1. Med den lavere grad har du fundet et polynomium, der er lettere at løse.

roden r vil ofte være et systematisk gæt. Når du har gennemført divisionen har du blot en enklere opgave.

For en ordens skyld 6 er ikke rod i det polynomium du kommer med. En heltallig løsning skal gå op i konstantleddet så mulige heltallige løsninger er ±1. Hvis du vil have mulige rationale løsninger er det ±1, ±½, ±1/4

#1

<citat> For polynomier af højere grad findes der ingen metode til at finde rødderne analytisk. Jeg vil lige understrege at de ikke blot ikke kendes; men at de ikke eksisterer, så man aldrig vil kunne finde rødderne analytisk. Man er henvist til numeriske metoder eller gæt <\citat>

Enig ... der findes ikke ikke en generel løsning for >5'te gradspolynomier ... det er er en af de smukke ting, der følger af Galois teorien :-) Dog eksisterer et hav af polynomier af grad 5 eller højere der stadig kan løses

Okay jeg tror jeg forstår det: Altså det man gør med disse 3,4 og 5 gradspolynomier er at man differentiere dem til en lavere ordning. x^3 bliver således til x^2. x^4-->x^3 og x^5-->x^4 ? Jeg beklager hvis jeg er lidt tungnem, men polynomier og matematik har jeg generalt altid haft svært ved :) 

#5

Man vil differentiere polynomiet, hvis man er interesseret i at lave en monotoniundersøgelse for det. Diskussionen ovenfor drejede sig mest om at bestemme rødder i et polynomium, og der spiller den afledede ikke nogen speciel rolle.