Matematik
Hjælp til integration
Jeg sidder med opgave 5.072 fra "Eksamensbog i matematik" 3årigt forløb til a-niveau.
Jeg har f(x) = 2/(e^(2x)-1))), x > 0
og g(x) = 1/2ln(e^(2x)-1))))-x , x > 0
Jeg skal så gøre rede for at g er en stamfunktion til f, samt beregne den eksakte værdi af tallet
S(2 er øvre og 1 er nedre)f(x)dx.
For at gøre rede for det førstnævnte kan dette gøres ved at differentiere g(x), og det skulle gerne vise sig at g'(x) = f(x).
Men jeg simpelthen ikke skue den ved at regne den i hånden. kan selvfølgelig gøres vha lommeregneren, men synes bare at det er lidt tyndt.
Ville derfor blive glad, hvis der var nogen, som kunne hjælpe.
På forhånd tak
Svar #3
23. oktober 2005 af IBM (Slettet)
g'(x) = 1/2*1/(e^(2x)-1)*2e^(2x)-1 <=>
g'(x) = e^(2x)/(e^(2x)-1)-1 <=>
g'(x) = e^(2x)/(e^(2x)-1) - e^(2x)-1/(e^(2x)-1) <=>
g'(x) = 1/(e^(2x)-1), x>0
Svar #4
23. oktober 2005 af Alima (Slettet)
Selvfølgelig.. Jeg har skrevet f(x) forkert op.. Der skal selvfølgelig stå
f(x)= 1/((e^2x)-1)
Når g(x) differentieres på lommeregneren fås g´(x) = 1/((e^2x)-1), dvs g´(x)= f(x), men mit problem er at jeg ikke kan differentiere udtrykket for g(x).
Svar #6
23. oktober 2005 af Alima (Slettet)
Jeg er bare lidt langsom der.
men mange tak for hjælpen.
Når jeg skal beregne den eksakte værdi af tallet
S(2 er øvre og 1 er nedre)f(x)dx, indsætter jeg i stedet for f(x) udtrykket 1/((e^2x)-1), og finder stamfunktionen hertil, som vi jo allerede har til at være g(x), og indsætter så mine grænser og løser dette på normalvis, og får dette til at være 1/2ln(e^2)+1))-1. Korrekt?
Svar #7
23. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)
Lad h, k og i være de ved fastsættelserne
h(x) = 1/2*ln(x)
k(x) = e^(2x) - 1
i(x) = x
definerede funktioner. Heraf ses det umiddelbart, at
g(x) = h(k(x)) - i(x), x > 0
i og k er klart differentiable, og h er differentiabel i ethvert x > 0. Diverse differentiationsregneregler(differentiation af sum og sammensat funktion) fortæller os da, at g er differentiabel med afledet
g'(x) = h'(k(x))*k'(x) - i'(x)
Eftervis, at g'(x) = f(x), som du selv foreslår.
Funktionen f er kontinuert, så den eksakte værdi af integralet
2
S[f(x)]dx
1
kan beregnes ved hjælp af stamfunktioner. Fra det første spørgsmål vides specielt, at g er en stamfunktion til f, og da det bestemte integral ikke afhænger af hvilken stamfunktion til f, man anvender, kan man lige så godt bruge g.
//Epsilon
Svar #8
23. oktober 2005 af Alima (Slettet)
Jeg vidste ikke hvor jeg skulle starte. Men nu har jeg kigget på #3, og kan se at lnx i vores tilfælde er (e^(2x)-1), og dette differentieret bliver så 1/(e^(2x)-1), og er det næste så en sammensat funktion?
Svar #9
23. oktober 2005 af Alima (Slettet)
Jeg vidste ikke hvor jeg skulle starte. Men nu har jeg kigget på #3, og kan se at lnx i vores tilfælde er (e^(2x)-1), og dette differentieret bliver så 1/(e^(2x)-1), og er det næste så en sammensat funktion?
Skriv et svar til: Hjælp til integration
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.