differentiabilitet og kontinuitet

se bl.a.
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=148834#148846

Indledningsvis kan siges, at en kontinuert funktion ikke nødvendigvis er differentiabel, men en differentiabel funktion er altid kontinuert. # 1 i link:  Hvordan viser man så det?

eller formuleret

         mængden af differentiable funktioner er en ægte delmængde af mængden af kontinuerte funktioner

#0 Givet en funktion f på et åbent interval, da er

(1) f kontinuert i a hviss ∃f(a)∀h:f(a+h)→f(a) for h→0

(2) f differentiabel i a hviss ∃f'(a)∀h:(f(a+h)-f(a))/h→f'(a) for h→0

Af omskrivningen f(a+h)=h[(f(a+h)-f(a))/h]+f(a) følger at hvis f er differentiabel, så er f også kontinuert. Dvs.

{f differentiabel}⊆{f kontinuert}.

.............

Betragt f(x)=|x| i a=0. Det er klart at f er kontinuert i a; thi f(a+h)=f(h)→f(0)=0 for h→0.

f er IKKE differentiabel i a ... givet h er differenskvotienten (f(a+h)-f(a))/h=f(h)/h.

Med h<0 er f(h)/h=-h/h=-1 og for h>0 er f(h)/h=h/h=1 ... hvilket viser at (2) ikke er opfyldt.

Dermed haves {f differentiabel}⊂{f kontinuert} ... som angivet i #3.