Matematisk afstand/norm

Notationen ||·|| benyttes for normen i et vektorrum. Den Euklidiske norm i Rⁿ inducerer den sædvanlige afstandsmetrik |·| i Rⁿ organiseret som et metrisk rum.

#1 Hvad betyder "Rⁿ organiseret som et metrisk rum"?

... Generelt gælder at hvis (V,||·||) normeret vektorrum, så er (V,d) et metrisk rum med d(x,y):=||x-y||, hvor d kaldes den af ||·|| inducerede metrik.

#0 Notationen |·| bruges blot som en kort skrivemåde for den Euklidiske norm på Rⁿ

Det betyder der er indført en afstandsfunktion kaldet norm. Der er forskellige betingelser for at man kan tale om en afstandsfunktion. Der skal gælde

afst(a,a) =0

afst(a,b)≥ 0

afst(a,c) ≤ afst(a,b)+afst(b,c)  trekantsuligheden

eksempler på afstandsfunktioner udover den euklidiske norm(afstand)

||x-y|| = |x₁-y₁|+ |x₂-y₂|+ .... |x_n-y_n|

||x-y|| =maks{ |x₁-y₁|, |x₂-y₂|, .... |x_n-y_n| }

#3 ?? Læser du kun første linie i et spørgsmål ?? SIGH

Hvis du genlæser #2 kan du måske(?) se at jeg er bekendt med forskellen mellem normerede vektorrum og metriske rum! Mit spørgsmål går til #1 med hvad han mener med "Rⁿ organiseret som et metrisk rum"?

... AFAIK er det nok at skrive "Den Euklidiske norm i Rⁿ inducerer den sædvanlige(red. Euklidiske) afstandsmetrik |·| i Rⁿ"

#2

Så kan man jo netop betragte (Rⁿ,d) som Rⁿ organiseret som et metrisk rum. Det er vel ikke noget at blive "ultramaniac" over (i #4)? Jeg forsøgte blot at besvare trådstarters spørgsmål, og det så ud til, at det blev forstået.