Talmængder

De 2 sidste er ikke rigtige

A= {x∈N| 2x<20} er tallene 1 til 10

A= {x∈N| x²≤20} er tallene   1, 2, 3, 4

Brug hellere

A= {x∈N| x<20∧2|x} eller A= {x∈N| x<20∧x/2 ∈ N}

A= {x∈N| x≤20∧√x ∈ N}

a)   { n ∈ N | n < 20 }

b)   { n , m ∈ N | n < 20 ∧ n = 2m }

c)   { n , m ∈ N | n ≤ 25 ∧ n = m² }

# 2  bør udlægges:

a)   { n ∈ N | n < 20 }

b)   { n ∈ N | m ∈ N :  n < 20 ∧ n = 2m }

c)   { n ∈ N | m ∈ N :  n ≤ 25 ∧ n = m² }

Endelige delmængder af naturlige tal kan også bekvemt angives på listeform:

a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}

b) {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

c) {1, 4, 9, 16, 25}

#2

b) og c) bør i den notation angives med kvantorer

b) { n ∈ N | ∃m ∈ N :  n < 20 ∧ n = 2m }

c) { n ∈ N | ∃m ∈ N :  n ≤ 25 ∧ n = m² }

Er det korrekt at skrive?

b)   { n , m ∈ N | n < 20 ∧ n = 2m }

c)   { n , m ∈ N | n ≤ 25 ∧ n = m² } 

som i #2? Jeg vil gerne laere at kunne beskrive delmaengder af maengder, og det er derfor, jeg ikke har brug den fuldstaendige listeform, men tak #4, for nu er jeg da med paa, hvilke tal, der er tale om helt praecist :)

Hvis jeg har B= { x∈N I x²=2 }, saa er der vel tale om den tomme maengde, idet der ikke findes et naturligt tal kvadreret som er lig med 2. Er det saa korrekt at skrive

B= { x∈N I x²=2 } ⇔ B=∅

Sidst men ikke mindst, kan man sige, at den tomme maengde er en delmaengde af enhver maengde M? Og hvorfor? 

# 5

1)   # 2 blev korrigeret i # 3  men den helt korrekte version ses i # 4 med eksistenskvantoren.

2)   B = { x ∈ N I x² = 2 }  ⇔  B = ∅     ja.

3)   Lad M være en vilkårlig mængde. Følgende udsagn kan anses for at være sand:

      "Ethvert x der tilhører ∅ ,  tilhører også M" .

      Af denne grund vedtager vi, at for en vilkårlig mængde M er

      ∅ ⊆ M  .

Kvantorer er logiske symboler, der anvendes til sammensætning af udsagn.

Man har

1)  al-kvantoren  ∀  som symboliserer udtrykket: "for alle", "for ethvert", "for et vilkårligt".

Vi kan f.eks. anvende kvantoren i forb. m. den før omtalte mængde:   ∀ x ∈ N :    x² ≠ 2

2)  Den anden kvantor  ∃  kaldes eksistenskvantoren og symboliserer udtrykket: "der eksisterer",

     "der findes mindst ét".

Vi kan da skrive:  ∃ x ∈ R :  x² = 2

I forbindelse med grunden til, at den tomme mængde Ø er en delmængde af enhver mængde M, kan dette skrives således:

Ø ⊆ M

eller med kvantorer

∀x∈Ø: x∈M

Hvis vi negerer dette sidste udsagn, får vi

∃x∈Ø: x∉M

og dette udsagn er klart falsk: det er umuligt at udvælge et element fra den tomme mængde, som ikke findes i mængden M. Altså er det oprindelige (ikke-negerede) udsagn sandt, altså

Ø ⊆ M