Matematik

ligninger

25. august 2013 af jax1 - Niveau: Universitet/Videregående

((x+1)²/x(x-1)) + ((x-1)²/x(x+1)) - 2*((3x+1)/(x²-1)) = 0

hvordan løser man den, altså med forklaring trin for trin

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. august 2013 af mathon

det bemærkes,
at fællesnævneren er
FN: x(x²-1) = x(x+1)(x-1) x ∉ {-1,0,1}

    1. brøk forlænges med (x+1)
        til
                       (x+1)³/ (x(x²-1))

2. brøk forlænges med (x-1)

til
(x-1)³/ (x(x²-1))

    3. brøk forlænges med x
        til
                       2x•(3x+1) / (x(x²-1))

ligningen bliver således

                                  (x+1)³/ (x(x²-1)) + (x-1)³/ (x(x²-1)) - 2x•(3x+1) / (x(x²-1)) = 0
hvoraf

                                     (x³+3x²+3x+1) + (x³-3x²+3x-1) - (6x²+2x)
                                     --------------------------------------------------------- = 0
                                                                 x(x²-1)

                                      2x³+6x
                                     ---------- = 0
                                      x(x²-1)

                                     2x(x²+3)
                                     ---------- = 0    x ∉ {-1,0,1}
                                      x(x²-1)

hvor tælleren kun
bliver 0 for
x = 0 som ligningen ikke er defineret for.

Løsningen til ligningen

(x+1)²/(x(x-1)) + (x-1)²/(x(x+1)) - 2•((3x+1)/(x²-1)) = 0
er derfor

L = Ø

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. august 2013 af Andersen11 (Slettet)

Nu er imidlertid

[ (x³ + 3x² + 3x + 1) + (x³ -3x² +3x -1) - 2·(3x+1)·x ] / (x·(x²-1)) =

[ 2x³ +6x -6x² -2x ] / (x·(x²-1)) =

[ (2x² -6x +4)·x ] / (x·(x²-1)) =

2x·(x² -3x +2) / (x·(x²-1)) =

2x·(x-1)·(x-2) / (x·(x+1)·(x-1)) = 0 , x ≠ 0 , x ≠ 1 , x ≠ -1

dvs.

(x-2) / (x+1) = 0 , x ≠ 0 , x ≠ 1 , x ≠ -1

der har løsningen

x = 2 .

Løsningsmængden er altså ikke den tomme mængde, men derimod

L = {2} ,

hvilket også bekræftes ved at gøre prøve i den oprindelige ligning.

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. august 2013 af Andersen11 (Slettet)

I #1 er skridtet fra

(x³+3x²+3x+1) + (x³-3x²+3x-1) - (6x²+2x)
--------------------------------------------------------- = 0
x(x²-1)

til

                                      2x³+6x
                                     ---------- = 0
                                      x(x²-1)

ikke korrekt. Den sidste parentes -(6x²+2x) i den første brøks tæller er forsvundet på vejen til det næste skridt.

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. august 2013 af mathon

#1 fejlrettet skrives

det bemærkes,
at fællesnævneren er
FN: x(x²-1) = x(x+1)(x-1) x ∉ {-1,0,1}

    1. brøk forlænges med (x+1)
        til
                       (x+1)³/ (x(x²-1))

2. brøk forlænges med (x-1)

til
(x-1)³/ (x(x²-1))

    3. brøk forlænges med x
        til
                       2x•(3x+1) / (x(x²-1))

ligningen bliver således

                                  (x+1)³/ (x(x²-1)) + (x-1)³/ (x(x²-1)) - 2x•(3x+1) / (x(x²-1)) = 0
hvoraf

                                     2x(x²- 3x + 2)
                                     ------------------- = 0
                                       x(x²-1)

                                      2(x-2)(x-1)
                                     -------------- = 0       med x ≠ 1
                                      (x+1)(x-1)

giver

                                      2(x-2)
                                     ---------- = 0    x ∉ {-1,0,1}
                                   (x+1)

hvor tælleren kun
bliver 0 for
x = 2

Løsningen til ligningen

(x+1)²/(x(x-1)) + (x-1)²/(x(x+1)) - 2•((3x+1)/(x²-1)) = 0
er derfor

x = 2

Skriv et svar til: ligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.