tællelighed

Mængden af de reelle tal R er en uendelig mængde, der ikke er tællelig.

Mængden I af irrationale tal er ikke-tællelig. Hvis nemlig I var tællelig, var også   R = Q ∪ I   en tællelig mængde.

har kigget lidt på beviset for at R ikke er tællelig. Her bruges, at alle reelle tal har en decimalekspansion. Hvorfor gælder dette nødvendigvis?

#3

Hvis man har et reel tal x ∈ ]0,1] findes der en entydig algoritme til at skrive x som

x = ∑^∞_n=1 a_n/10ⁿ ,

hvor a_n ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , og enhver række af denne form fremstiller et tal i intervallet ]0,1].

Der findes også andre måder hvorpå man kan bevise, at R er uendelig og ikke tællelig.

I mængdelæren indfører man en relation ~ mellem mængder. To mængder A og B siges at være ækvivalente, og vi skriver det A ~ B, hvis der findes en bijektion  φ: A |--> B . Relationen ~ ses let at være en ækvivalensrelation. Den giver derfor anledning til en inddeling af klassen af mængder i ækvivalensklasser.

Ækvivalensklassen, der indeholder mængden A, kaldes for kardinaltallet af A, hvilket skrives card(A). For to mængder A og B har vi da med disse definitioner, at

A ~ B    ⇔   card(A) = card(B)

Hvis A er en endelig mængde, kan elementerne i A nummereres med et endeligt afsnit {1,2,...,n} af de naturlige tal N, og man vil se, at

A ~ {1,2,..,n} ,

og vi kan da skrive

card(A) = card({1,2,...,n}) .

Det vil forekomme naturligt at skrive   card({1,2,...,n}) = n , hvorfor vi for den endelige mængde A kan skrive

card(A) = n .

For en endelig mængde A svarer mængdens kardinaltal card(A) derfor til antallet af elementer i A.

Ækvivalensklassen, der indeholder mængden af de naturlige tal N, kaldes   (aleph nul), og enhver mængde, der indeholder denne ækvivalensklasse, siges at være tælleligt uendelig (eller numerabel). Vi han skrive

card(N) =  .

Det er antydet ovenfor, at det ikke er muligt at konstruere en bijektion fra mængden N af de naturlige tal på mængden af de reelle tal R. Mængden af de reelle tal tilhører derfor en anden ækvivalensklasse, som kaldes   (aleph én), og vi kan skrive

card(R) =   .

Enhver mængde, der tilhører ækvivalensklassen   siges at have kontinuets mægtighed.

Det er muligt at indføre en ordning af kardinaltallene, idet man for to mængder A og B definerer

card(A) ≤ card(B) , hvis der findes en injektion fra A ind i B , og

card(A) < card(B) , hvis der findes en injektion fra A ind i B, men ingen bijektion fra A på B.

Det følger så af det ovenstående, at

 ^<  ,

og det interessante er, at man kan vise, at der ikke findes noget kardinaltal mellem  og  .

Man kan også vise følgende sætning: For enhver mængde A findes der en mængde B, så at

card(A) < card(B) .

Det betyder, at der findes mængder med kardinaltal der er større end  . Cantor viste, for eksempel, at for en mængde A har mængden af alle delmængder af A større kardinaltal end A . Det følger heraf, at mængden af alle delmængder af de reelle tal har et kardinaltal, der er større end  .

Man kan nu spørge, om der findes en delmængde  M ⊆ R , hvor M er ikke-tællelig, men for lille til at kunne afbildes på R , en bijektion fra M på R ?

Det er, så vidt vides, aldrig blevet bevist, om der gælder:

Enhver delmængde af R er

enten  endelig, tællelig eller af kontinuets mægtighed.

#6

Ja, det er korrekt, og jeg gik for vist i #5 med at hævde, at der ikke findes et kardinaltal mellem  og ; det er fortsat en hypotese (kontinuumshypotesen)