Injektiv

Det betyder matematisk set, at

x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂) for alle x₁, x₂ i definitionsmængden for f.

Der findes ikke to forskellige x-værdier, der har samme funktionsværdi.

Definition af injektiv:

f(x)=f(x') => x=x'

Det betyder rent sprogligt, at hvert element mappes til et unikt andet element. 
Hvis du tænker lidt over det, kan du nok se, at det at en funktion er injektiv på et interval er ensbetydende med, at den er monoton. Hvis du derfor kan vise, at din konkret givne funktion er monotont voksende eller aftagende, betyder det, at den er injektiv. 

Ja, det ved jeg godt. Jeg har læst om det i min bog, men der er ikke noget eksempel på, hvordan jeg viser, at den funktionsforskrift, som jeg sidder med, er injektiv.

#3

En differentiabel funktion, der er strengt voksende eller strengt aftagende er injektiv. Undersøg, om f '(x) har konstant fortegn.

En afbildning af D ind i B kaldes injektiv, hvis det for to forskellige vilkårlige elementer i D gælder, at deres billede er forskellig.
Ethvert element i B er således billede af højst ét element i D.

Der er ikke, ved en injektion, krav om, at til ethvert element i B knyttes netop ét element i D.
Udvides injektionen, fra
- ethvert element i B er således billede af højst ét element i D   til
- ethvert element i B er således billede af netop ét element i D
kaldes det en bijektion, den udvidede injektion.

#6

For at præcisere definitionerne:

Afbildning f: D |--> B

Injektiv: ethvert element i D har et billede i B, og to forskellige elementer i D afbildes altid i to forskellige elementer i B.

Surjektiv: ethvert element i B er billede af et element i D.

Bijektiv: afbildningen er både injektiv og surjektiv.

udtrykt grafisk [ LINK ]

Mange tak!

Der gælder:

[  x₁ ≠ x₂  ⇒  f(x₁) ≠ f(x₂)  ]     ⇔

[  x₁ ≠ x₂  ∧  f(x₁) ≠ f(x₂)  ]      ∨
[  x₁ = x₂  ∧  f(x₁) ≠ f(x₂)  ]      ∨
[  x₁ = x₂  ∧  f(x₁) = f(x₂)  ]
 

Med mængdenotation kan, og vil  # 10  se således ud:

{ ∀ x₁ ; x₂ ∈ D |  x₁ ≠ x₂   ⇔  f(x₁) ≠ f(x₂) }  \  { ∀ x₁ ; x₂ ∈ D |  x₁ ≠ x₂  ∧  f(x₁) = f(x₂) }

Det er nøjagtig, hvad der også udtrykkes i  # 1.