Matrixregning

Hvis λ er en egenværdi er der uendelig mange løsninger. Selve matrixligningen skrevet ud i koordinater er 2 ligninger med 2 ubekendte. De 2 ligninger er imidlertid proportionale så der reelt kun er en ligning. Skriv ligningerne ud og sæt for eks. x₁ =1 eller et andet bekvemt tal (x₁=0 er i de fleste tilfælde uegnet) og brug dette til at finde et x₂. x = (1, x₂) er så en egenvektor og samtlige løsninger kan findes som k*x.

Hvis ligningen er noget i retning af k*x₁=0 k≠0 er x₁ =0 den eneste mulighed. I så fald er (0, 1) en egenvektor

#1

Jeg vil gerne prøve at løse denne her:

http://peecee.dk/upload/view/420489

Jeg har vedhæftet et word dokument, hvor du kan se matrix A og egenværdierne. Bemærk, at der er to egenværdier og disse ikke er en søjlevektor, men to selvstændige tal.

Kan vi prøve at finde egenvektoren for den første egenværdi?

#2

Det ville da være nemmere blot at give matricen og egenværdierne her, så vi ikke skal rode med filer, der i mit tilfælde bliver blokeret af min virusbeskyttelse.

#3

Hvordan har du tænkt dig, at jeg skal skrive det her uden en matrix-funktion?

Here it goes:

          |0,0017661            0,0010092|

A =     |0,0017661            0,0014346|

λ_1,2 = {0,002946;0,000255}

#4

Det gik da fint sådan.

Man skal så løse ligningssystemet

0,0017661·x₁     +     0,0010092·x₂ = 0,002946·x₁

0,0017661·x₁     +     0,0014346·x₂ = 0,002946·x₂

På grund af afrundingsfejl er determinanten ikke nøjagtigt lig med 0, og ligningssystemet her har numerisk kun den ene løsning (0;0).

Ligningen for første koordinat bliver

0,0017661*x₁+0,0010092x₂ = λx₁

hvor λ er en af de 2 opgivne egenværdier

#5 og #6

Med første egenværdi kommer jeg frem til:

x₂ = 1,168 · x₁   med den første ligning og

x₂ = 1,169 · x₁   med den anden ligning.

Hvordan finder jeg så x₁? Sætter jeg dem lig hinanden, bliver x₁ lig 0.

#7

De to ligninger skal være identiske. De er lidt forskellige, fordi der er afrundingsfejl i matricen og egenværdierne, som nævnt i #5.

Antager vi, at de to ligninger er helt identiske og lig med den første, giver ligningen

x₂ = 1,168 · x₁  

så en parameterfremstilling for alle egenvektorerne for egenværdien λ₁ med x₁ som parameter:

x = [ x₁ ; 1,168 · x₁ ] , x₁ ∈ R .

Der er uendelig mange løsninger til de ligninger. genlæs #1

Hvis du sætter x₁ = 1 får du ligningen

0,0017661+0,0010092x₂ = λ

heraf finder du så for hver af egenværdierne x₂

#8 og #9

Bruger man lommeregneren eller ser på resultatet, kommer man frem til søjlevektoren [0,65;0,76]. Hvordan ved man, at det er lige præcis dén løsning, man er på udkig efter?

#10

Der er uendeligt mange løsninger, som skrevet på formen i sidste linie i #8. Man kan så finde de vektorer i egenrummet, som også opfylder, at |x| = 1. Det ser ud til, at din lommeregner finder sådan en løsning.

#11

Tak, det hjalp!