kardinalitet af den tomme mængde

Det forekommer naturligt at definere card(Ø) = 0 .

ja okay, men i nogle beviser i min bog bruges dette til at slutte noget andet. Så det er uanset hvad en definition med konsekvenser. Så i den kontekst: Hvad er forskellen på definition og aksiom her? 

Bemærk, at cardinaltallet card(A) for en ikke-tom mængde A blev indført som den restklasse, der indeholdt mængden A ved Cantors ækvivalensrelation. card(Ø) er den restklasse, der indeholder den tomme mængde Ø. Enhver endelig, ikke-tom mængde A er ækvivalent med et endeligt afsnit {1,2,...,n} af de naturlige tal N, hvis antal af elementer er lig med n. I den forbindelse var det naturligt at indføre den kortere skrivemåde

card(A) = n

for en endelig, ikke-tom mængde med n forskellige elementer. Det er i samme forbindelse hensigtsmæssigt at indføre skrivemåden

card(Ø) = 0,

fordi vi så for endelige, ikke-tomme mængder A og B har

card(A∪B) = card(A) + card(B) - card(A∩B) ,

hvor additionerne foregår i mængden N∪{0} . og dette udtryk ses også at være opfyldt, hvis vi slækker på kravet om, at A og B skal være ikke-tomme.