Taylor polynomie

Bestem Taylorpolynomierne af grad 0, 1, 2, 3, 4, ... osv udviklet omkring x = 1. Da f(x) selv er et polynomium af grad 4, er Taylorpolynomierne for grad 4 og op identiske med funktionen selv.

Okay, er ikke sikker på jeg overhovedet har forstået det rigtigt, hvordan man finder taylorpolynomierne. Har indtil videre gjort følgende:

f '(x) = 4x³+14x  ,  f ''(x)=12x²+14  ,  f '''(x)=24x  ,  f ''''(x)=24

f '(1)=4*1³+14*1=18  ,  f ''(1)=12*1²+14=26  ,  f '''(1)=24*1=24  ,  f ''''(x)=24

Er jeg på rette spor, og i så fald, hvordan kommer jeg videre?

#2

Så indsæt de beregnede konstanter i udtrykket for Taylorpolynomierne.

T_n(x) = ∑ⁿ_i=0 f⁽ⁱ⁾(a)/(i!) · (x - a)ⁱ

Ved T₄(x) skal man ende med funktionen?? Nu har jeg tripplet tjekket ligningen og kommer frem til noget der næsten ligner f(x) men ikke helt.

Ved T₄(x) = 24x, så det er det sidste term det er relevant at differentiere ved. 

#4

Man har

T₄(x) = 6 + 18·(x-1) + (26/2)·(x-1)² + (24/6)·(x-1)³ + (24/24)·(x-1)⁴

        = 6 + 18x -18 + 13x² +13 -26x + 4x³ -12x² +12x -4 + x⁴ -4x³ +6x² -4x +1

        = x⁴ + (4-4)x³ + (13 -12 +6)x² + (18 -26 +12-4)x + 6 -18 +13 -4 +1

        = x⁴ + 7x² -2

        = f(x)

Jeg har lavet fortegn's fejl som altid. Tak for det.

#6

Hvordan kan du lave fejl, når du har en computer/Maple til at lave alt arbejdet for dig? Jeg lavede alle mellemregningerne i #5 i selve tekstfeltet som du ser det der.

Jeg bruger ikke maple/computer til udregningerne. Jeg regner det ud i "hånden" og bruger kun maple til at plotte funktioner, og som skriveark.

Grunden at du kan lave det i teksfeltet på 2 mins, er nok fordi du er lidt(meget) bedre end os andre til matematik :)

...så jeg får, ved ndsættelse

   18/1(x-1)+27/2!(x-1)²+24/3!(x-1)³+24/4!(x-1)⁴ 

= 18/1(x-1)+27/2(x-1)2+24/6(x-1)3+24/24(x-1)4 

= 18/1(x-1)+13(x-1)²+4(x-1)³+(x-1)⁴

eller har jeg misforstået.. 

#9

Du mangler leddet f(1) . Se #5 for det fuldstændige udtryk.

Desuden er f ''(1) = 26, ikke 27.

Ups, skrivefejl, jeg har også fået f ''(1)=26   Tak :)