integration

Benyt, at

1/(x² + x) = 1/(x·(x+1)) = (1/x) - (1/(x+1))

Du an omsrive funktionen til a/x+b/(x+1) Find a og b ved at sætte på fælles brøkstreg

             ∫ 4 / (x²+x) dx = 4 • ∫ ((1/x) • (1/(x+1)) dx =

                                       
                            4 • ln|x/(x+1)| + C

rettelse at tastefejl

          ∫ 4 / (x²+x) dx = 4 • ∫ ((1/x) - (1/(x+1)) dx =

                                       
                            4 • ln|x/(x+1)| + C

hvorfor et minus det forstår jeg slet ikke ?

#5

Benyt omskrivningen i #1. Eftervis omskrivningen ved at forlænge og sætte på fælles brøkstreg.

nu har jeg forstået det men kan man altid gøre det som i gjorde dér ? altså hvis der står ganger i nævner så kan man bare dele brøken og skrive minus imellem ?

#7

Nej, det kommer lidt an på faktorerne i nævneren.

Hvis man vil skrive

1/(ab) = h/a + k/b

får man så

1/(ab) = (hb + ka)/(ab)

så h og k skal opfylde hb + ka = 1 .

for det jeg tænkte var integration ved substitution, prøv den fil jeg har vedhæftet, hvorfor er det forkert ?

#9

Du har jo ikke substitueret færdigt. Du ender med et integral med både u og x, som man ikke kan bruge til noget.

altså er den integeret rigtig nu

#11

Nej, det er noget håbløst roderi. Det er meningen med substitution, at man ændrer variabel fra x til u for at opnå et integral på en form der er lettere at integrere. Man blander dem ikke, som du gør. Det er ikke alle integraler, der er lige egnet til substitution, og dette integral er et af dem, der ikke er specielt egnet til substitution.

altså jeg forstår godt hvordan man laver opgaven forstår bare ikke hvorfor man ikke må substituere for det er jo en indre funktion i en indre funktion tænker jeg,

men jeg er klar over at i har ret selvfølgelig og i skal have tak for at i overhovedet vil hjælpe :)

#13

Du må da også gerne substituere. Du skal så bare gøre det rigtigt; men man opnår ikke et integral, der er nemmere at integrere ved den substitution, som du foreslår.

#13

Her er en substitution, der virker: u = (1/x) , du = -(1/x²) dx , dx = -(1/u²) du .

Man har så

∫ 4/(x² + x) dx = 4 · ∫ (-1/u²) / ((1/u²) + (1/u)) du

                    = -4 · ∫ 1/(1 + u) du

                    = -4 · ln(|1+u|) + C

                    = -4·ln(|1 + (1/x)|) + C

                    = -4·ln(|(x+1)/x|) + C

                    = 4·ln(|x/(x+1)|) + C