Matematik
Ekstremum på kompakt mængde
Jeg har fået givet funktionen:
f(x,y) = ln(x2 + y2) for (x,y) ∈ R2 \ {(0,0)}
Desuden får jeg at vide, at for alle r1 og r2 ∈ R+, hvor r1 < r2, betragtes mængden:
K(r1, r2) = {(x, y) ∈ R2 I r12 ≤ x2 + y2 ≤ r22}
Jeg har bestemt, at K(r1, r2) er kompakt, og at da f er kontinuert over mængden vil den ifølge ekstremværdisætningen have både minimum- og en maksimumværdi i K(r1, r2).
Nu bliver jeg så bedt om at bestemme disse værdier. Da intet punkt (x,y) i den givne mængde opfylder, at f´1 (2x/(x2 + y2)) og f´2 (2y/(x2 + y2)) er lig med 0, har f ingen staionære punkter i K(r1, r2), og derfor må ektremværdierne ligge på randen af den kompakte mængde.
Her går jeg helt i stå. Hvordan skal man man bestemme en minimum. og en maksimumværdi i denne sammenhæng?
Svar #1
27. oktober 2013 af peter lind
Logaritmefunktionen er monoton voksende, så funktionsværdien er mindst når indmaden er mindst og størst når indmaden er største
Svar #2
27. oktober 2013 af hmw (Slettet)
Hej Peter
Tak for dit svar, men jeg er desværre stadig forvirret.
Mener du, at man dermed får minimum og maksimum som henholdsvis r1 og r2 når (x2+y2) → 0 og r1 og r2 når (x2+y2) → ∞ ?
Henrik
Svar #3
27. oktober 2013 af peter lind
Nej indmaden er x2+y2 og definitionsmængden r12≤ x2 + y2 ≤ r22 hvor lille og hvor stor kan indmaden så blive?
Svar #4
27. oktober 2013 af hmw (Slettet)
Men så forstår jeg ikke definitionsmængden.
Kan man ikke bruge alle talpar (x,y) (altå med undtagelse af (0,0)) så længe man bare kan finde et talpar (r1, r2), for hvilke den opskrevne definitionsmængde gælder:
fx vil dette ikke opfylde kravene: (x, y) = (34, 67) så (x2+y2= 5645) og (r1, r2) = (1, 5646).
Og vil det så ikke sige, at man ikke kan vælge en specifik mindste- eller maksimumværdi?
Som du kan se, har jeg virkelig fået mig selv ud, at redningskrandse har svært ved at nå(:
Svar #5
27. oktober 2013 af peter lind
Der forudsættes at r1 og r2 er kendte faste tal, så du skal ikke finde et talpar (r1, r2). Disse er givet. Mindste og største værdien vil være afhængig af hvad r1 og r2 er, så du skal udtrykke mindsteværdien og størsteværdien ved disse tal.
Svar #6
27. oktober 2013 af hmw (Slettet)
Vi det sige, at mindsteværdien bare er lige med r12 og maksimumværdien er r22?...
Svar #8
27. oktober 2013 af hmw (Slettet)
Nåh ja, det er jo for f.
Tusind tak for din hjælp.
Mvh,
Henrik
Skriv et svar til: Ekstremum på kompakt mængde
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.