Differentialligninger

Benyt løsningsformlen for den sidste differentialligning, du nævner, med a = -1 og h(x) = x . Differentialligningen kan også skrives

y' - y = x

Mange tak!

Kan du også hjælpe mig på vej med denne:
y'-xy=3x

Jg har fået et hint fra min lærer, som siger det er typen y' + g(x) y = h(x). Det er ikke den samme form som: y'+ay=h(x) ?

#2

Det simpleste vil være at omskrive ligningen

y ' = 3x + xy = x·(y+3)

og så separere ligningen

(y+3)' / (y+3) = x

der nu let kan integreres.

Hvad betyder 'separere ligningen'?

#4

Hvis differentialligningen kan skrives på formen

f(y) · y' = g(x)

kan man separare de variable, idet man nu har

∫ f(y) dy = ∫ g(x) dx

Jeg har ikke haft om det, så det tør jeg ikke bruge, hvis min lærer stiller spørgsmål, som jeg ikke kan svare på. Hvordan løser jeg den, ved brug af:  y' + g(x) y = h(x)  ? Det kan være din metode er lettere, men jeg kender den ikke, og tør derfor ikke bruge den.

Mht. opgaven y'=y+x, så har jeg løst den på flg. måde:
y'=y+x⇔y'-y=x

y=e^-ax*∫h(x)*e^axdx=e^x*∫x*e^axdx=e^x*e^-x(-x-1)=-x-1

Der er noget forkert her, da løsningen ifølge min bog er y=c*e^x-x-1 . Hvad gjorde jeg forkert?

Vil du stadig hjælpe mig?

#6

Jo, du kan da bruge panserformlen til begge disse differentialligninger.

Ligningen

y' - y = x har så løsningen

y = e^x · (∫ e^-x · x dx + c) = e^x · (-x·e^-x + ∫ e^-x dx + c)

                                   = e^x · (-x·e^-x - e^-x + c)

                                   = -x -1 + c·e^x .

Mange tak for hjælpen!

Panserformlen er jo: x(t)=e^-P(t)( ∫e^P(t)q(t)dt+c)

hvor P'(t)=-1

Og jeg kan se, at du har sat P(t)=-x, men er det ikke: P(t)=∫-1dt=-x+k? Mangler integrationskonstanten ikke?

Hvorfor kan man se bort fra  integrationskonstanten?

Jeg forstår ikke dette trin:

 e^x · (∫ e^-x · x dx + c) = e^x · (-x·e^-x + ∫ e^-x dx + c) - hvad er det, der gøres efter lighedstegnet?

#12

 Der udføres en partiel integration

∫ e^-x · x dx = -e^-x · x - ∫ (-e^-x) · 1 dx = -x·e^-x + ∫ e^-x dx = -x·e^-x - e^-x

Okay, hvorfor indrages integrationskonstanten ikke? Se #10

#14

Indrages?

Integrationskonstanten er da medtaget. Den er kaldt c i #8 og #12.

Jeg kan se, at du har sat P(t)=-x, men er det ikke: P(t)=∫-1dt=-x+k ?

Se #10

#10, #16

Det er ikke nødvendigt med ekstra integrationskonstanter. Konstanten c er alt, hvad der er behov for af integrationskonstanter.

Funktionen P(x) er en stamfunktion til -1, ikke samtlige stamfunktioner.

Men ville den ikke gå op med P(t)=∫-1dt=-x+k ?

Hvis vi betragter differentialligningen

y'(x) + p(x)·y = q(x) ,

indføres en stamfunktion til p(x) ved

P(x) = ∫ p(x) dx

og den fuldstændige løsning til differentialligningen er så

y(x) = e^-P(x) · (∫ e^P(x) q(x) dx + c) .

Hvis man yderligere medtager arbitrære konstanter k for de to stamfunktionen P(x), får man jo

y(x) = e^-P(x)-k · (∫ e^P(x)+k q(x) dx + c) = e^-k·e^k · e^-P(x) · (∫ e^P(x) q(x) dx + c) = e^-P(x) · (∫ e^P(x) q(x) dx + c)

så det er jo tidsspilde at rode med en ekstra integrationskonstant.

Det kan jeg godt se, det er bare fordi min bog viser sådan et eksempel. Ved 3. lighedstegn, er det også partiel integration?