Matematik
Omskrivning fra parameterfremstilling til vektor
06. november 2005 af
madsing (Slettet)
Hej,
Jeg kender en parameterfremstilling og en vektors kordinater a1 og a2.
For at kunne beregne vektors projektion på linjen skal jeg bruges projektsformlen men hvordan omskriver jeg en parameterfremstilling til et vektor koordinat?
Jeg kender en parameterfremstilling og en vektors kordinater a1 og a2.
For at kunne beregne vektors projektion på linjen skal jeg bruges projektsformlen men hvordan omskriver jeg en parameterfremstilling til et vektor koordinat?
Svar #1
06. november 2005 af sigmund (Slettet)
Kan du ikke være mere konkret? Har du en parameterfremstilling for en linie? Og skal du så beregne vektor a=(a1,a2)'s projektion på linien?
Jeg antager at svarene er ja.
Det skal bemærkes at prikprodukt i det følgende betegnes med . (punktum).
Lad a=(a1,a2) betegne vektor a, b=(b1,b2) betegne enhver vektor på linjen med parameterfremstillingen b=d*t+c, hvor d=(d1,d2) og c=(c1,c2) er to vektorer og t et reelt tal.
Vi har så, at projektionen a_b af a på b er givet ved a_b={(a.b)/|b|^2}.b.
Dvs. at vi skal udregne (a.b) og |b|^2.
Først (a.b):
Vi har
(a.b)=(a1,a2).(b1,b2) <=>
(a.b)=a1*(d1*t+c1)+a2*(d2*t+c2) <=>
(a.b)=a1*d1*t+a1*c1+a2*d2*t+a2*c2 <=>
(a.b)=(a1*d1+a2*d2)*t+(a1*c1+a2*c2) <=>
(a.b)=(a.b)*t+(a.c) (**)
Så |b|^2:
Vi har
|b|^2=b1^2+b2^2=(d1*t+c1)^2+(d2*t+c2)^2 <=>
|b|^2=d1^2*t^2+c1^2+2*d1*c1*t+d2^2*t^2+c2^2+2*d2*c2*t <=>
|b|^2=(d1^2+d2^2)*t+2*(d1*c1+d2*c2)*t+(c1^2+c2^2) <=>
|b|^2=|d|^2*t+2*(d.c)*t+|c|^2 (***)
Sætter vi så (**) og (***) ind i formlen for projektionen a_b af a på b, får vi
a_b={[(a.b)*t+(a.c)]/[|d|^2*t+2*(d.c)*t+|c|^2]}.b (IV)
Dvs. at din projektion vil afhænge af t. Har du så brug for projektionen for en bestemt værdi af t, sætter du bare denne ind i (IV).
Jeg antager at svarene er ja.
Det skal bemærkes at prikprodukt i det følgende betegnes med . (punktum).
Lad a=(a1,a2) betegne vektor a, b=(b1,b2) betegne enhver vektor på linjen med parameterfremstillingen b=d*t+c, hvor d=(d1,d2) og c=(c1,c2) er to vektorer og t et reelt tal.
Vi har så, at projektionen a_b af a på b er givet ved a_b={(a.b)/|b|^2}.b.
Dvs. at vi skal udregne (a.b) og |b|^2.
Først (a.b):
Vi har
(a.b)=(a1,a2).(b1,b2) <=>
(a.b)=a1*(d1*t+c1)+a2*(d2*t+c2) <=>
(a.b)=a1*d1*t+a1*c1+a2*d2*t+a2*c2 <=>
(a.b)=(a1*d1+a2*d2)*t+(a1*c1+a2*c2) <=>
(a.b)=(a.b)*t+(a.c) (**)
Så |b|^2:
Vi har
|b|^2=b1^2+b2^2=(d1*t+c1)^2+(d2*t+c2)^2 <=>
|b|^2=d1^2*t^2+c1^2+2*d1*c1*t+d2^2*t^2+c2^2+2*d2*c2*t <=>
|b|^2=(d1^2+d2^2)*t+2*(d1*c1+d2*c2)*t+(c1^2+c2^2) <=>
|b|^2=|d|^2*t+2*(d.c)*t+|c|^2 (***)
Sætter vi så (**) og (***) ind i formlen for projektionen a_b af a på b, får vi
a_b={[(a.b)*t+(a.c)]/[|d|^2*t+2*(d.c)*t+|c|^2]}.b (IV)
Dvs. at din projektion vil afhænge af t. Har du så brug for projektionen for en bestemt værdi af t, sætter du bare denne ind i (IV).
Svar #2
06. november 2005 af fixer (Slettet)
#1
Projektionen af en vektor a på en linie l er entydigt defineret som (a*e)e hvor e en en enhedsvektor parallel med l. Det er derfor ikke nogen grund til at udregne projektionen af a på en vilkårlig vektor parallel med l.
Udover det omstændelige ved at regne med koordinater er der desforuden et par småfejl:
(1)
"projektionen a_b af a på b er givet ved a_b={(a.b)/|b|^2}.b."
Du anvender symbolet "." for skalarproduktet, derfor må a_b = {(a.b)/|b|^2}b. Samme fejl optræder i ligning (IV).
(2)
"(a.b)=(a.b)*t+(a.c) (**)"
->
(a.b)=(a.d)*t+(a.c) (**)
Denne fejl går igen i (IV).
#0
Liniens parameterfremstilling er
r(t) = b+tc, t E R
hvor b og c er konstante vektorer. Beregn en enhedsvektor, e, parallel med retningsvektoren c som
e = c/|c|
Den søgte projektion er da vektoren (a*e)e, hvor "*" betegner skalarproduktet.
Projektionen af en vektor a på en linie l er entydigt defineret som (a*e)e hvor e en en enhedsvektor parallel med l. Det er derfor ikke nogen grund til at udregne projektionen af a på en vilkårlig vektor parallel med l.
Udover det omstændelige ved at regne med koordinater er der desforuden et par småfejl:
(1)
"projektionen a_b af a på b er givet ved a_b={(a.b)/|b|^2}.b."
Du anvender symbolet "." for skalarproduktet, derfor må a_b = {(a.b)/|b|^2}b. Samme fejl optræder i ligning (IV).
(2)
"(a.b)=(a.b)*t+(a.c) (**)"
->
(a.b)=(a.d)*t+(a.c) (**)
Denne fejl går igen i (IV).
#0
Liniens parameterfremstilling er
r(t) = b+tc, t E R
hvor b og c er konstante vektorer. Beregn en enhedsvektor, e, parallel med retningsvektoren c som
e = c/|c|
Den søgte projektion er da vektoren (a*e)e, hvor "*" betegner skalarproduktet.
Skriv et svar til: Omskrivning fra parameterfremstilling til vektor
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.