Tretrinsreglen

Jeg tror at der har sneget sig en regnefejl ind:

    (x₀ + h)³ = x₀³ + 3x₀²h + 3x₀h² + h³,

så

    Δf = x₀³ + 3x₀²h + 3x₀h² + h³ - x₀³ = 3x₀²h + 3x₀h² + h³.

Du har ganget parentesen forkert ud.

(x₀+h)^3=h³+3h²x₀+3hx₀²+x₀³

Og du har altså, at

Δf=h³+3h²x₀+3hx₀²

Heraf følger dit resultat nemt, thi

Δf/h = h²+3hx₀+3x₀²

Ved at lade h->0, har du så, at f'(x)=3x²

Jeg forstår ikke rigtig den måde I har regnet 1. trin ud? Man skal vel også først finde f'(x) altså differentialkvotienen i 3.trin? :-)

I indlæg #2 er alle tre trin blevet udført.

Mht. regnefejlen: Man kan for eksempel bruge en kvadratsætning til at beregne

    (x₀ + h)³ = (x₀ + h)(x₀ + h)² = (x₀ + h)(x₀² + 2x₀h + h²)
             = x₀³ + 2x₀²h + x₀h² + hx₀² + 2x₀h² + h³
             = x₀³ + 3x₀²h + 3x₀h² + h³.

Når du indsætter dette i udtrykket for Δf, så går x₀³ ud og man får så udtrykket fra indlæg #1 & #2.

Man har

(f(x₀+h) - f(x₀)) / h = ((x₀+h)³ - x₀³) / h = (x₀+h - x₀)·((x₀+h)² + (x₀+h)·x₀ + x₀²) / h

                           = h · ((x₀+h)² + (x₀+h)·x₀ + x₀²) / h

                           = (x₀+h)² + (x₀+h)·x₀ + x₀²

                           → x₀² + x₀² + x₀² = 3x₀² for h → 0 .

Der er her benyttet

a³ - b³ = (a-b)·(a² + ab + b²)

Så jeg skal altså bare skrive afleveringen sådan her?: 

1.trin:
Funktionen hedder x3, så funktionsværdien af x0+h = 
(x0+h)³
Og funktionsværdien af f(x0) = 
x₀³
Ligningen kommer altså til at se sådan her ud:
Δf = (x0+h)³ - x0³
Derefter ganger man parentesen ud: 
(x0+h)³=h³+3h²x0+3hx02+x0³
x0³ går ud:
Δf = h³+3h²x0+3hx0²

2. trin:
a = Δf/h = h³+3h²x0+3hx0²/h 
a = h²+3hx0+3x0²

3. trin:
lim(h²+3hx0+3x0²)
Når man finder grænseværdien af sekanthældningen så har man nået differentialkvotienten: 
f'(x) = lim(h²+3hx0+3x0²)
Når h går imod 0 bliver h = 0 og så kommer der til at stå:
f'(x) = 3x²

?? :-)