Matematik

Sandsynlighed

09. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg har en opgave, som jeg gerne vil have hjælp til.

Vi har 3 kommoder, der hver har 2 skuffer. I den første kommode er der en guldmønt i hver skuffe, i den anden kommode er der én guld- og én sølvmønt og endelig er der en sølvmønt i begge skuffer i den sidste kommode.
En af kommoderne vælges tilfældigt og en tilfældig skuffe i kommoden åbnes. Det viser sig, at indholdet er en guldmønt.

Bestem sandsynligheden for, at den anden skuffe i samme kommode også indeholder en guldmønt.

Mit forslag: Lad os se på de to hændelser

A: Første skuffe indeholder en guldmønt.
B: Anden skuffe indeholder en guldmønt.

Jeg vil så mene, at P(A)=P(B)=1/2, da der er lige stor sandsynlighed for at trække en guld- henholdsvis en sølvmønt, når vi ikke har nogen forudsætninger. Jeg er dog ikke helt sikker på om dette er rigtigt, og så kan jeg heller ikke finde ud af at bestemme P(A|B), for den skal jeg jo have for at kunne bruge Bayes' formel til at beregne P(B|A).

Svar #1
09. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg opdaterer lige tråden i håb om at der er nogle venlige folk som læser ovenstående indlæg, og som gider at hjælpe mig.

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Vi har skam forudsætninger. Vi må have åbnet en skuffe i én af de to første kommoder, for den tredje kommode indeholder kun sølvmønter. Er vi i første kommode, vil vi med sikkerhed finde en guldmønt i anden skuffe (uanset hvilken skuffe vi først åbnede), mens vi med sikkerhed ikke finder en guldmønt i anden skuffe, hvis vi er i anden kommode.

I to af de tre mulige tilfælde findes altså en guldmønt i anden skuffe. Et kvalificeret gæt på sandsynligheden må derfor være 2/3.

Vis nu, at dette er tilfældet.

//Epsilon

Svar #3
09. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Mit problem er sådan ser, at jeg ikke rigtig kan finde ud af at finde sandsynligheden for P(A), P(B) og P(A|B).

Svar #4
09. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Altså er det i det mindste rigtigt at P(A)=1/2? For jeg vil jo mene at sandsynligheden for at trække en guldmønt i første forsøg er 3/6=1/2. Jeg kan bare ikke rigtig finde ud af de andre.

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#3:
Vi må på en eller anden måde skulle have både skufferne og kommoderne i spil. Lad os derfor formalisere overvejelserne gjort i #2.

Idet vi med G_i og K_j betegner hændelserne

G_i: der udtrækkes en guldmønt i i'te skuffe, i = 1,2.
K_j: der åbnes en skuffe i j'te kommode,j = 1,2,3.

er det klart, at P(K_j) = 1/3. Overvej nu, at sandsynligheden P(G_2) for en guldmønt i anden skuffe er

P(G_2) =
P(K_1|G_1) + P(K_2|G_1) + P(K_3|G_1) = P(K_1|G_1)

Benyt dernæst Bayes' formel. Dertil kræves de betingede sandsynligheder

P(G_1|K_j),

som vi jo netop kender (ikke sandt?).

//Epsilon

Svar #6
09. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Nå ja, det kan jeg da godt se. Mange tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Sandsynlighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.