Integralregning haster….

I begge opgaver brug partiel integration. I a integrer 3x differentier ln(x). I b integrer e^x differentier x². Her er det nødvendig med to partielle integrationer

#1 Hvordan? er ikke helt med. 

Hvad er du i tvivl om ? kender du ikke partiel integration ?

#3, nej, det gør jeg nemlig ikke. :( Kan du hjælpe mig på vej? 

a)
    partiel integration:  

                                     ∫ f(x)•g(x) dx = F(x)•g(x) - ∫F(x)•g '(x) dx

    som for
                                     f(x) = 3x                 F(x) = (3/2)x²

                                     g(x) = ln(x)             g '(x) = x^-1

                                     ∫ 3x•ln(x) dx = (3/2)x²•ln(x) - ∫(3/2)x²•x^-1) dx =

                                                                    (3/2)x²•ln(x) - ∫(3/2)x)dx =

                                                                    (3/2)x²•ln(x) -(3/4)x² + k

b)
    partiel integration:  

                                     ∫ f(x)•g(x) dx = F(x)•g(x) - ∫F(x)•g '(x) dx

    som for
                                     f(x) = e^x                 F(x) = e^x  

                                     g(x) = x²                g '(x) = 2x

                                     ∫ e^x•x² dx = e^x•x² - ∫e^x•2x dx =

til beregning af ∫e^x•2x dx
anvendes partiel intefration endnu engang:

                                    ∫e^x•2x dx = e^x•2x -2 ∫e^xdx = 2xe^x-2e^x - k

dvs
                                   ∫ e^x•x² dx = e^x•x² - (2xe^x-2e^x - k) = x²•e^x - 2xe^x + 2e^x + k = (x²-2x+2)e^x + k

 

c) 
                  ∫(2x+7)⁹dx
 
                      sæt u = 2x+7   og dermed   (1/2)du = dx

                  ∫(2x+7)⁹dx =  (1/2)• ∫u⁹du = (1/10)·u¹⁰ + k = (1/10)·(2x+7)¹⁰ + k

d) 
                  ∫(cos²(x)•sinx)dx
 
                      sæt u = cos(x)   og dermed   -du = sin(x)dx

                  ∫(cos²(x)•sinx)dx =  - ∫u²du = -(1/3)·u³ + k = -(1/3)·cos³(x) + k