Matematik
Differentialligninger
Hej alle!
Er der nogen, der kan hjælpe mig med disse opgaver - den første ved jeg, er en seperation af de variable, men jeg kan ikke komme videre herfra.
Opgave 3 har jeg nået lidt, men sidder fast
Opgave 1:
Angiv den løsning til differentialligningen, der går gennem (x0,y?) når:
dy/dx=y/x og (x0,y0)=(-3,4)
Jeg er kommet til:
1/y*dy=1/x*dx
∫1/y dy=∫1/x dx
ln(y)=ln(x)+k
Opgave 2:
Funktionerne f og g er løsninger til differentialligningen:
3/2 dy/dx=x/y^2
Bestem forskrifter for f og g, når f(1)=1 og g(-5)=3
Opgave 3:
Bestem den løsning til differentialligningen
dy/dx=-x/y
hvis graf er
a) en halvcirkel i 3. og 4. kvadrant med radius 2
b) en halvcirkel i 1. og 2. kvadrant med radius 1/2
Her er jeg nået til y=+/-(kvadratrod)-x^2+2k, men hvad gør jeg så?
Håber, der er en, der kan hjælpe og skære det ud i pap for mig :-)
Mvh. Stefanie
Svar #1
23. november 2013 af mathon
Opgave 1:
ln(y)=ln(x) + k
y = C•x gennem (-3,4)
4 = C•(-3)
C = -(4/3)
y = -(4/3)•x
Svar #2
23. november 2013 af stefanie24 (Slettet)
#1 skal jeg så slet ikke bruge ln(y)=ln(x)+k til noget? eller bliver det bare omskrevet til y=C*x?
Svar #3
23. november 2013 af lfdahl (Slettet)
1. Den har du løst korrekt. Du mangler blot at finde den partikulære løsning, som går gennem punktet (3,4)
ln(4) = ln(3) + k ⇒k = ln(4/3)
Opg. 2. Igen separation af variable, som giver: y3 = x2 + k. Bestem k for funktionerne f og g som ovenfor.
Opg. 3. Separation af variable giver: y2 = -x2 + r2, hvor r er en arbitrær konstant. Heraf fås cirklens ligning:
y2 + x2 = r2 - med centrum i origo (0,0) og radius r. Ligningen kan omskrives:
y = ±√(r2 - x2), så du lettere kan finde de i pkt. a og b forespurgte løsninger.
Svar #4
23. november 2013 af mathon
Opgave 2:
(3/2) ∫y2dy = ∫xdx
(1/2)y3 = (1/2)x2 + (1/2)k
y3 = x2 + k gennem
som for f(x) giver
13 = 12 + k
1 = 1 + k
k = 0
y3 = x2
y = f(x) = x2/3
som for g(x) giver
33 = (-5)2 + k
27 = 25 + k
k = 2
y3 = x2+2
y = f(x) = (x2+2)1/3
Svar #5
23. november 2013 af mathon
Opgave 3:
y2 = -x2 + r2
a)
x2 + y2 = 22 -2 ≤ x ≤ 2 -2 ≤ y ≤ 0 i 3. og 4. kvadrant
.
b)
x2 + y2 = (1/2)2 -(1/2) ≤ x ≤ (1/2) 0 ≤ y ≤ (1/2) i 1. og 2. kvadrant
Svar #6
24. november 2013 af mathon
i Opgave 3
brugte jeg udtrykket for enhedscirklen x2 + y2 = r2, da jeg mente, du ville finde det mest genkendeligt.
Men det kan selvfølgelig også udtrykkes:
a)
y = -√(22-x2) -2 ≤ x ≤ 2
b)
y = √((1/2)2-x2) -1/2 ≤ x ≤ 1/2
Svar #7
24. november 2013 af stefanie24 (Slettet)
#3, nu skal jeg lige forstå det helt ret - hvordan skal jeg så finde den partikulære løsning? Er det dét svar, som der er givet i #1?
#5 og #6 kan du uddybe, hvordan du kommer frem til svaret?
Tusind tak for hjælpen!
Skriv et svar til: Differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.