partikulær løsning til differentialligning

Ligningen er af typen, den homogene lineære anden ordens differentialligning med konstante koefficienter.
Der findes en færdig løsningsmodel for denne, hvor  (⁶/₃)² - 4·(⁴/₃) < 0
Det er cos og sin  modellen, som sikkert står i formelsamlingen eller i bogen.
Partikulærløsningen er den, hvor løsningen tilfredsstilles af  y(0) = 0 og y '(0) = 10 .

 

da e^rx er en løsning, haves

        den karakteristiske ligning
                                                                   3r² + 6r + 4 = 0
        som har de komplekse løsninger
                                                                 r = -1 ± i·(√(3)/3).

Løsningen er da

                                                                 y(x) = e^-x(C₁·cos((√(3)/3)x) + C₂·sin((√(3)/3)x))

                                                                 y(0) = e^-0(C₁·cos((√(3)/3)·0) + C₂·sin((√(3)/3)·0)) = 0

                                                                                1·(C₁·1 + C₂·0) = 0

                                                                                 C₁ = 0
           hvoraf
                                                                 y(x) = e^-x· C₂·sin((√(3)/3)x)

                                                                 y '(x) = -e^-x·C₂·sin((√(3)/3)x) + e^-x·C₂·cos((√(3)/3)x)·(√(3)/3)

                                                                 y '(0) = -e^-0·C₂·sin((√(3)/3)·0) + e^-0·C₂·cos((√(3)/3)·0)·(√(3)/3) = 10

                                                                 -1·C₂·sin(0) + C₂·cos(0)·(√(3)/3) = 10

                                                                  0 + C₂·1·(√(3)/3) = 10

                                                                  C₂ = 10 / ((√(3)/3))

                                                                  C₂ = 10√(3)

konklusion:
                                                                 y(x) = 10√(3)·e^-x·sin((√(3)/3)·x)

anvendt er:

                   Når den karakteristiske ligning

                                                                        ar² + br + c = 0

                   har de kompleks konjugerede rødder  α ± i·β (med β ≠ 0),
                   er den generelle løsning

                                                                 y(x) = e^αx·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x))

hvordan kom du frem til  r = -1 ± i·(√(3)/3? ..det jeg har fået det til er -1 ± i√(12)

#4
                               3r² + 6r + 4 = 0

                                        d = 6² - 4·3·4 = 36 - 48 = -12

                                        √(d) = √(-12) = √((-1)·2²·3) = √(-1)·√(2²·3) = i·2√(3)

                                       -6 ± i·2√(3)
                                r = ---------------- = -1 ± i·√(3)/3
                                            2·3