Matematik
inhomogene differentialligninger fuldstændig partikulær løsning
Givet følgende inhomogene differentialligning:
y''+3y'-10y = 130 cos(t)
(a) Beregn den fuldstændige løsning til den tilhørende homogene differentialligning. (den har jeg løst og lamda gav (2 og -5)
(b) Beregn en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning.
(c) Hvor mange løsninger til den inhomogene differentialligning opfylder begyndelsesbetingelserne
y(9) = 11 og y'(9) = 111?
Hej alle de søde mennesker herinde. jeg skal op til eksamen på mandag og jeg har fået styr på alle emnerne på nær af diff. ligninger når det kommer til det med at finde partikulær og fuldstændig løsning. Jeg har prøvet at læse i min bog men det er simpelthen ikke til at finde ud hvilke regler jeg skal gå efter. jeg fik løsningen fra min underviser (kig nedunder). jeg forstår dog ikke hvorfor jeg skal bruge zp() og ikke yp().
hvis I kan forklare mig i detaljer så vil jeg virkelig være taknemlig. jeg søger nemlig ikke blot en løsning. hvis I evt har flere opgaver af denne type som jeg kan få og øve mig på.
løsninger
Opgave 3
(a) (har jeg )
(b) partikulær løsning til tilsvarende komplekse D.L.:Zp(t)=(-11-3i)e^it
dermed til oprindelige: yp(t)=-11 cos(t) + 3 sin (t)
(c)
Der er netop
én løsning, fordi der opgives to begyndelsesbetingelser.
Svar #1
07. december 2013 af lfdahl (Slettet)
Måske kan jeg hjælpe dig lidt på vej med punkt (b):
(b). Udgangspunktet er: y'' + 3 y' - 10 y = 130 cos(t).
Dit spørgsmål går bl.a. på, hvorfor der søges en kompleks løsning:
Første skridt er det nærliggende gæt, at en reel løsning må være en linearkombination af cos(t) og sin(t): yp = a1cos(t) + a2sin(t), hvor a1 og a2 er reelle tal. Denne linearkombination kan jo også udtrykkes som realdelen af en kompleks partikulær løsning: zp(t) = c eiβt, hvor c er en kompleks koefficient: c = c1 + i c2, (c1 og c2 er reelle tal) og β = 1. Man har altså, at yp(t) = Re(zp(t)). Grunden til at man vælger at tage udgangspunkt i zp og ikke yp er vel, at det er mere kompakt og overskueligt i første omgang at regne med den komplekse løsning.
Ved indsættelse af udtrykket for zp i den komplekse DL:
zp'' + 3 zp' -10 zp = 130 eit, [hvor Re(130 eit) = 130 cos(t)]
kan du så sammenligne koefficienterne og fastlægge c: i2 c + 3 i c - 10 c = 130 ⇒(-11 + i 3) c = 130 ⇒c = -11 - i 3. Dermed er: zp(t) = (-11 - i 3) eit = (-11 - i 3)(cos(t) + i sin(t)) = -11 cos(t) + 3 sin(t) + i (-11 sin(t) - 3 cos(t)). Realdelen heraf er netop yp(t).
Kan også være, at du kan finde lidt støtte i følgende dokument:
Skriv et svar til: inhomogene differentialligninger fuldstændig partikulær løsning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.