Matematik
Differentialligning
30. oktober 2003 af
SP anonym (Slettet)
Hej!
Jeg søger hjælp til løsning af opg. 3.067 i "Eksamensopgaver i matematik - 1-årigt forløb til A-niveau".
Opgaven lyder:
y*(dy/dx)=-(1/2)*(y^2-25) , y>5
En funktion f er løsning til differentialligningen, og dens graf går gennem punktet P(0,10).
Bestem hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet P.
Bestem en forskrift for f.
Gør rede for, at enhver funktion, der er løsning til differentialligningen, er aftagende.
Jeg har prøvet selv, men får ikke nogen resultater, jeg kan bruge til noget.
Jeg søger hjælp til løsning af opg. 3.067 i "Eksamensopgaver i matematik - 1-årigt forløb til A-niveau".
Opgaven lyder:
y*(dy/dx)=-(1/2)*(y^2-25) , y>5
En funktion f er løsning til differentialligningen, og dens graf går gennem punktet P(0,10).
Bestem hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet P.
Bestem en forskrift for f.
Gør rede for, at enhver funktion, der er løsning til differentialligningen, er aftagende.
Jeg har prøvet selv, men får ikke nogen resultater, jeg kan bruge til noget.
Svar #1
30. oktober 2003 af Brian (Slettet)
Et forslag:
På yderste niveau i ligningen findes kun multiplikation og division, så det er muligt at samlet alt y på den ene side, og på en sådan måde så det består af et udtryk i y - lad os kalde det h(y) - GANGE med y'(x), d.v.s. h(y)*y' = (ingen y'er her).
Dette er smart, fordi det kan integreres m.h.t. x - ved int. v. subst. får du på venstre side simpelt hen H(y), hvor H er stamfkt. til h.
Konkret:
Divider over med (1/2)*(y^2-25), og få
2*y*(y^2-25)^(-1)*y' = (-1)
Her er h(y) = 2y(y^2-25)^(-1)
Med y = f(x) har du samlet
h(f(x))*f'(x) = -1
Dette integreres m.h.t. x og du får
H(f(x)) = -x + c.
Herefter skal f "bare" isoleres. Hvis du stirrer lidt på h kan måske få øje på, at dens stamfunktion også er rimelig let at finde - igen ved substitution.
Mit samlede resultat for alle løsninger er
f(x) = (exp(-x+c)+25)^(1/2)
På yderste niveau i ligningen findes kun multiplikation og division, så det er muligt at samlet alt y på den ene side, og på en sådan måde så det består af et udtryk i y - lad os kalde det h(y) - GANGE med y'(x), d.v.s. h(y)*y' = (ingen y'er her).
Dette er smart, fordi det kan integreres m.h.t. x - ved int. v. subst. får du på venstre side simpelt hen H(y), hvor H er stamfkt. til h.
Konkret:
Divider over med (1/2)*(y^2-25), og få
2*y*(y^2-25)^(-1)*y' = (-1)
Her er h(y) = 2y(y^2-25)^(-1)
Med y = f(x) har du samlet
h(f(x))*f'(x) = -1
Dette integreres m.h.t. x og du får
H(f(x)) = -x + c.
Herefter skal f "bare" isoleres. Hvis du stirrer lidt på h kan måske få øje på, at dens stamfunktion også er rimelig let at finde - igen ved substitution.
Mit samlede resultat for alle løsninger er
f(x) = (exp(-x+c)+25)^(1/2)
Svar #2
30. oktober 2003 af krelle (Slettet)
Det er godt nok lamg tid siden jeg har lavet sådan nogle opgaver.
start med at isolere dy/dx. Så kan du finde hældningen ved at indsætte punktet (0,10) i det du får. Så simpelt er det.
Så løser du den næste vha. af seperation af de variable. Jeg har løst den... hvis du ikke kan finde ud af det kan jeg give dig mit svar.
For at løse den sidste skal du bare kigge på udtrykket dy/dx. Da y>5 vil y^2-25 altid være positivt eller 0. Og da dette så bliver divideret med et positivt tal, vil (y^2-25)/y altid være positivt. er du med? Og da du ganger dette med en negativ konstant vil det være negativt hele tiden!
start med at isolere dy/dx. Så kan du finde hældningen ved at indsætte punktet (0,10) i det du får. Så simpelt er det.
Så løser du den næste vha. af seperation af de variable. Jeg har løst den... hvis du ikke kan finde ud af det kan jeg give dig mit svar.
For at løse den sidste skal du bare kigge på udtrykket dy/dx. Da y>5 vil y^2-25 altid være positivt eller 0. Og da dette så bliver divideret med et positivt tal, vil (y^2-25)/y altid være positivt. er du med? Og da du ganger dette med en negativ konstant vil det være negativt hele tiden!
Svar #3
30. oktober 2003 af krelle (Slettet)
Så løser du den næste vha. af seperation af de variable. Jeg har løst den... hvis du ikke kan finde ud af det kan jeg give dig mit svar.
>>> eller bare kig på Brians svar:-)
>>> eller bare kig på Brians svar:-)
Skriv et svar til: Differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.