Mængder

Hilberts Hotel illustrerer et tilsyneladende paradoks ved uendelige mængder. Hilbert Hotel er et hotel med uendeligt, tælleligt mange pladser. En dag, hvor alle rum er optaget af gæster, kan hotellet alligevel skaffe plads til en gæst mere ved at bede gæsten i rum nr 1 om at flytte til rum nr 2, gæsten i rum nr 2 om at flytte til nr 3, osv. Der bliver derved et ledigt rum i nr 1, som den nye gæst kan benytte. Ved at gentage processen, kan der altid skaffes plads til et nyt, endeligt antal gæster.

Eksemplet illustrerer dette, at hvis M er en uendelig mængde med tælleligt mange elementer, og A er en mængde med endeligt mange elementer, der ikke er indeholdt i M, vil mængderne M og A∪M have samme mægtighed, dvs. der findes bijektive afbildninger f og g:

f: M --> N    og    g: A∪M --> N ,

hvor N er mængden af de naturlige tal.

Hilberts Hotel er endda i stand til at imødekomme et uendeligt, tælleligt antal nye gæster, idet man beder gæsten i rum nr om at flytte til rum nr 2, gæsten i rum nr 2 om at flytte til rum nr 4, og generelt gæsten i rum nr n om at flytte til rum nr 2n. Derved bliver alle værelser med ulige rumnumre frie til de nye gæster.

Du kan læse mere om Hilberts Hotel her http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_Hotel

Tak for svaret!

Kan du også forklare mig hvorfor de reelle tal er mere uendelig end N, Q og Z? Er det fordi at de ikke kan tælles pga. de irrationale tal?

#2

Ja, det er korrekt. Det er ikke muligt at lave en bijektiv afbildning fra N på R .

Okay tak, hvis du har tid vil du prøve at uddybe bijektiv adbilning? 

At der ikke kan laves en bijektiv afbildning fra N på R er det fordi at de ikke har samme mægtighed?

Jeg har faktisk selv læst mig frem til det, og fundet ud af det nu :)