Matematik
Funktion indeholdende sinus
Jeg er i gang med en matematikaflevering, men er stødt ind i et lille problem:
"For at beskrive det forventede antal dyr i en bestemt population benyttes en funktion f med forskriften
f(t) = 100 * sin((pi/2)t-(pi/2))+ 800, hvor t skal være større end eller lig med 0, og mindre end eller lig med 52.
t angiver antal uger efter årets start.
Bestem det største og det mindste antal dyr, der kan forventes i populationen. Løst grafisk til 900 og 700.
Bestem det tidsrum, hvori der forventes mindst 850 dyr i populationen:
Mellem 1/3 og 2/3 af året. (Efter uge 17,33.. og indtil uge 34,66..) Men hvordan kan jeg løse denne opgave, hvis det ikke blot skal være ved brug af grafregnerens intersect-funktion?
Mvh
Peter
Svar #1
12. november 2005 af Epsilon (Slettet)
En rent algebraisk løsning kan gennemføres ved at udnytte egenskaber ved sinus, som man med rimelighed må forventes at have kendskab til.
Vi betragter funktionen
f(t) = 100sin((pi/26)t - pi/2) + 800, 0 =< t =< 52
Det ses, at
sin(pi/26*0 - pi/2) = sin(-pi/2) = -1
sin(pi/26*26 - pi/2) = sin(pi/2) = 1
som jo er minimum og maksimum for sinus, og da 0 E D_f og 26 E D_f, slutter vi derfor, at
f_min = 100*(-1) + 800 = 700
f_max = 100*1 + 800 = 900
er det minimale hhv. maksimale antal dyr, som kan forventes i populationen det pågældende år.
Populationen omfatter mindst 850 dyr præcis, hvis
f(t) >= 850
og det ses, at
f(t) >= 850 <=>
100sin((pi/26)t - pi/2) >= 50 <=>
sin((pi/26)t - pi/2) >= 1/2
Vi indfører substitutionen
y: = (pi/26)t - pi/2
og bemærker, at y E [-pi/2;3pi/2], når t gennemløber [0;52]. Løsning af den trigonometriske grundligning
sin(y) = 1/2, y E [-pi/2;3pi/2]
giver (kontrollér selv dette)
y = arcsin(1/2) = pi/6 v y = pi-arcsin(1/2) = 5pi/6
(supplementvinkler har samme sinus). Eftersom sin(y) er voksende i [0;pi/2] og aftagende i [pi/2;pi], kan vi derfor slutte, at
sin((pi/26)t - pi/2) >= 1/2 <=>
pi/6 =< (pi/26)t - pi/2 =< 5pi/6 <=>
2pi/3 =< (pi/26)t =< 4pi/3 <=>
52/3 =< t =< 104/3
Der kan forventes mindst 850 dyr i populationen i tidsrummet
[52/3;104/3],
hvilket netop er i den midterste tredjedel af året.
Det blev lidt langt, men så er der heller intet at rafle om. Bemærk, at vurderingerne, som angår sinus, praktisk talt kan klares med kendskab til definitionen ud fra enhedscirklen. I fald at det ikke skulle være velkendt, er supplementvinkler ganske enkelt to vinkler med vinkelsummen pi.
//Epsilon
Svar #2
12. november 2005 af KickAzz (Slettet)
Jeg har lige et spørgsmål vedrørende en delopgave til ovenstående opgave.
"Bestem det tidspunkt, hvor populationen forventes at vokse hurtigst"
Her skal jeg vel differentiere funktionen? Men jeg er lidt forvirret, da der vel er tale om en sammensat funktion? Så et hint ville være dejligt.
Mvh
Peter
Svar #3
12. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Jo, differentiér f og bestem maksimum for den afledede funktion.
I har forhåbentlig lært at differentiere sammensatte funktioner :-)
//Epsilon
Svar #4
12. november 2005 af KickAzz (Slettet)
Svar #5
12. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Det er korrekt, om end t er den uafhængige variabel (ikke x).
//Epsilon
Skriv et svar til: Funktion indeholdende sinus
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.