Differentialligning

den brugbare faktor er

                      e^∫-(3/x)dx         x > 0

                      e^∫-(3/x)dx = e^-3·ln(x) = (e^ln(x))^-3 = x^-3 = 1/x³

                      y' - (3/x)·y = x                                     multipliceres på begge sider med  1/x³
hvoraf
                      (1/x³)·y' - (3/x⁴)·y = 1/x²                     hvor venstre side omskrives

                      ((1/x³)·y)' = 1/x²                                  begge sider integreres mht x

                      ∫((1/x³)·y)' dx = ∫(1/x²)dx

                     (1/x³)·y = -(1/x) + C                             begge sider multipliceres med x³    

                     y = -x² + Cx³      x > 0     

.

.........................

integrationskontrol
                                   (1/x³)·y)' = (x^-3·y)' = x^-3·y' + (-3)·x^-4·y = (1/x³)·y' - (3/x⁴)·y
                                         

Hvorfor eller hvordan kan venstresiden omskrives? Hvad bliver der af -3/x^4?

Dette

(1/x3)·y' - (3/x4)·y = 1/x2 ⇒ ((1/x3)·y)' = 1/x2

#3

Differentialligningen

y' -(3/x)·y = x

ganges med den integrerende funktion 1/x³ til

(1/x³)·y' - (3/x⁴)·y = 1/x² .

Her bemærker man, at venstresiden er differentialkvotienten af (1/x³)·y = x^-3·y , hvilket lettest vises ved at differentiere x^-3·y (benyt produktreglen) :

(x^-3·y)' = x^-3·y' - 3·x^-4·y = (1/x³)·y' - (3/x⁴)·y .

Derfor er

(1/x³)·y' - (3/x⁴)·y = ((1/x³)·y)' = 1/x²

og ved at integrere hver side ses så, at

(1/x³)·y = ∫ (1/x²) dx = -(1/x) + C ,

og dermed

y = C·x³ - x² , x > 0 .

Tak for svaret og den gode forklaring :-)