Cirkelbevægelse

Formålet med selve forsøget er at eftervise følgende formler for centripetalkraften (Fc):

Illustrationen skal tænkes at være den jævne cirkelbevægelse vi har med at gøre. Legemet vil flytte sig fra punkt B til punkt D, hvilket skyldes, at legemet fastholdes i cirkelbevægelsen. Hvis legemet ikke fastholdtes i en cirkelbevægelse, ville det fortsætte ud af tangenten til punktet B og fortsætte ud til punkt C. På denne måde kan vi inddele cirkelbevægelsen i to bevægelser: én fra B til C og én fra C til D.
Første bevægelse fra B til C er lineær ud langs tangenten til punktet B med farten v. Da vi kender formlen for bevægelse med konstant hastighed indsætter vi blot vores nye værdier:

s = v*t

Omskrives

BC = v * delta t

Bevægelsen fra C til D skyldes en acceleration. Dette skyldes, at legemet bliver fastholdt i cirkelbevægelsen af en resulterende kraft. Da det er en acceleration, vi har med at gøre anvender vi formlen for strækningen s ved en acceleration (a er accelerationen, som måles i m/s2):

s = 1/2 * a * delta t ^2

Omskrives

CD = 1/2*a*delta t ^2

Da det er en retvinklet trekant vi har tegnet i illustrationen gælder pythagoras: a^2+b^2=c^2

Omskrives: AB^2 + BC ^2 = AC ^2

AB er radius af cirklen på vores illustration, mens BC = v * delta t som tidligere beskrevet. Samtidig må afstanden mellem punkt A og punkt C være lig med radius plus CD  , som udtrykkes CD = 1/2 *a* delta t^2: Hermed er vi i stand til at sætte værdierne ind i pythagoras:

AB^2 + BC ^2 = AC ^2

Omskrives til:

r^2+(v*delta t) ^2 = ((r+1/2*a*(delta t)^2)^2

Omskrives til:

r^2+v^2*delta t^2 = r^2+2*r*1/2*a*delta t^2 + 0,25 *a^2* delta t^2

Reduceres = V^2 = r*a+0,25*a^2*delta t^2

Ved at lade gå mod 0, får vi udtrykket for bevægelse i et punkt. Udtrykket for dette kommer til at se således ud:
v2 = r * a + 0,25 * a2 * 02
Omskrives til:
v2 = r * a
Omskrives til: = a= V^2/r

Vi kan sætte udtrykket, der beskriver sammenhængen mellem hastigheden, vinkelhastigheden og radius v= vinkelhastigheden (w) *r ind i udtrykket for acceleration:

a=v^2/r  omskrives a = vinkelhastigheden (w) * r^2 / r = vinkelhastigheden (w)^2 *r

Når vi så indsætter formlen for vinkelhastigheden (w)=2*pi(3,14)) / T i dette udtryk fås følgende udtryk:

a = (w)^2*r

Da T er omløbstiden (i forbindelse med frekvens kaldet svingningstiden), og vi ved, at en svingnings frekvens kan anslås som 1/svingningtiden , kan vi konkludere at i forbindelse med en jævn cirkelbevægelse, er frekvensen f=1/T . Dette giver os:

a = 4*pi(3,14)^2*r*(1/T)^2   Omskrives = a= 4* pi (3,14)^2 *r*f^2

Newtons 2. lov – kraftloven – beskriver sammenhængen mellem den resulterende kraft på en genstand Fres, genstandens acceleration a, samt genstandens masse m således:
Fres = m * a
Vi kan nu sætte vores udtryk ind i Newtons 2. lov for at finde en formel for centripetalkraften Fc:
Fc = m * a
?

Fc= m*4*pi(3,14)^2*f^2*r

Herved har jeg nu vist, hvordan vores første udtryk for centripetalkraften er fremkommet. Men eftersom vi allerede ved, at a = v^2/r kan der ydermere konkluderes at:
Fc = m * a
?

Fc=m*v^2/r

Hermed påviste jeg ligeledes, hvordan vores andet udtryk for centripetalkraften er blevet til. Men da vi også ved, at a=(w)^2*r , kan vi ligeledes sætte dette udtryk ind i Newtons 2. lov:
Fc = m * a
?

Fc=m*(w)^2*r

Nu har jeg ligeledes påvist formlen for et tredje udtryk for centripetalkraften. Afslutningsvis vil jeg via Newtons 2. lov påvise en fjerde formel for centripetalkraften ud fra udtrykket : a = ( 2*pi(3,14) / T) ^2 *r
Fc = m * a
?

Fc= m*(2*pi)/T)^2 * r

Hermed har jeg vist, hvordan man er kommet frem til alle fire formler for centripetalkraften.