Orthogonalitet - Kvante Mekanik

Funktionerne φ₁ og φ₂ er 0 uden for intervallet [0;a], og i intervallet [0,a] er de defineret

φ₁(x) = (2/a)^1/2·sin(πx/a) , og

φ₂(x) = (2/a)^1/2·sin(2πx/a) .

Bølgefunktionerne ψ₁ og ψ₂ er så defineret ved

ψ₁(x) = Aφ₁(x) + (2i/√5)·φ₂(x) , og

ψ₂(x) = (2/√5)·φ₁(x) + (1/√5)·φ₂(x) .

Man skal så løse ligningen

₀∫^a ψ₁^*(x)·ψ₂(x) dx = 0

som en ligning i A. Med lidt substitution ser man, at det drejer sig om at beregne integralerne

J₁ = ₀∫^π sin²(ξ) dξ , J₂ = ₀∫^π sin(ξ)·sin(2ξ) dξ  , og J₃ = ₀∫^π sin²(2ξ) dξ

Jeg forstår det hele da det også var det jeg regnet med, men forstår bare ikke den del der omhandler substitution, er der nogen der kan forklare :)?

#2

Man skal for eksempel beregne integralet

₀∫^a sin(πx/a)·sin(2πx/a) dx       {   benyt substitution ξ = πx/a , dξ = (π/a) dx , dx = (a/π) dξ

                           = ₀∫^π (a/π)·sin(ξ)·sin(2ξ) dξ

                           = (a/π) · ₀∫^π sin(ξ)·sin(2ξ) dξ