Matematik

F er stigende..

18. november 2005 af Poler (Slettet)

f(x)=x^3/((x^2)+1)
-Gør rede for at f er voksende.

Hvordan gør jeg det?... Jeg skal vel regne f`(x) ud osv... men viser jeg matematisk at f er stigende..

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Der gælder, at for f : R --> R, er

f(x) = x^3/((x^2)+1).

Da f klart et en C^1-funktion, er f'(x) kontinuert på hele R og

d[f(x)]dx = (x^2(x^2+3))/(x^2+1)^2.

Dette udtryk er klart strengt positivt på hele definitionsmængden, da der udelukkende indgår kvadrerede led og positive konstanter.

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#1:
På nær i x = 0; men da f' ikke skifter fortegn i dette nulpunkt (f' >= 0), er f voksende ((0,0) er et vendepunkt).

//Epsilon

Svar #3
18. november 2005 af Poler (Slettet)

hmmm... jeg kan overhovedet ikke få det til at passe... her er mine udregninger:
f`(x)=0
-2x^4+7x^2=0
-2t^2+7t=0
-----------
d=7^2-4*-2*0
d=49
-----------
x=0 og x=3,5
------------

M.linie laves:

0 3,5
------------->

f`(-2)=-4
f`(3)=-99
f`(4)=-400

dvs:

- 0 - 3,5 -
------------->

og den skulle jo helt gerne være positiv over hele linien....

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. november 2005 af Duffy

f er voksende, men ikke strengt voksende da f'(x)=0 i x=0.

f(x)=x^3/((x^2)+1)

f'(x)= x^2*(x^2+3)/(x^2+1)^2

det ses let at f' er nul for x=0.

Du skal kunne konkludere at når f' har mulighed for at være nul så er f' IKKE "positiv over hele linien".

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#2:
Sorry, der var jeg lidt for hurtig.

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Alternativt kan man bruge definitionen, thi f er voksende netop, hvis

f(x+e) >= f(x),

x E R og _ethvert_ e > 0.

Lad e > 0 være givet. Vi har

f(x+e) - f(x) = (x+e)^3/((x+e)^2 + 1) - x^3/(x^2 + 1)

Da x |-> x^3 er (strengt) voksende, ses det for x >= 0, at

f(x+e) - f(x) > {(x+e)^3 - x^3}/(x^2 + 1) > 0,

Hvis x < 0, foretager vi en lille omskrivning til

f(x) = x - x/(x^2 + 1)

og får dermed vurderingen

f(x+e) - f(x) =
e + x/(x^2 + 1) - (x+e)/((x+e)^2 + 1) >
e + (x-(x+e))/((x+e)^2 + 1) =
e - e/((x+e)^2 + 1) > 0

Heraf ses, at f er voksende; endda strengt voksende.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:
Jeg skal sandelig love for, at klokken er mange, for de regnerier er da i dén grad blevet derefter.

Lad e > 0 være givet. Vi har, at

((x+e)^3)(x^2 + 1) - (x^3)((x+e)^2 + 1) =

e{x^4 + (2e)x^3 + (3+e^2)x^2 + (3e)x} + e^3 > 0.

Overvej selv dette. Da endvidere

((x+e)^2 + 1)(x^2 + 1) > 0,

får vi dermed

f(x+e) - f(x) > 0,

hvorved f er voksende.

//Epsilon

Skriv et svar til: F er stigende..

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.