1. ordens differentialligning

#0

v(t)·Δt er den længde, som et tværsnit af vandet har bevæget sig i tiden Δt . Længden ganget med tværsnittets areal A er rumfanget af den bevægede vandmængde.

#1

Giver god mening.

Hvis vi nu definerer ΔV* = -B · Δh, som er den vandmængde i beholderen, der reduceres, hvor B er tværsnitsarealet af beholderen og Δh er ændringen af vandstandens højde.

Sætter man ΔV = ΔV*, så: Δh/Δt = -A/B · v(t).                                                                                          (1)

Det jeg ikke forstår er, at der nu kigges på en situation, hvor Δt går mod 0.

Det gør så (åbenbart), at (1) giver: (dh)/(dt) = -A/B · v(t).     

Hvordan kan Δh/Δt blive lig (dh)/(dt)? Hvad er finten?

#2

Δh/Δt er en differenskvotient for funktionen h(t), og den er uafhængig af Δt , så grænseværdien eksisterer for Δt gående mod 0. Denne grænseværdi er netop dh/dt .

#3

Super, tak.

#3

Hvad er det du mener med, at h(t) ikke er afhængig af Δt? Den er da en funktion af tiden.

Hvis nu hullets størrelse var mindre i forhold til strømningens tværsnit efter hullet, ville hastigheden af vandstrømmen stige eller falde?

#5

Jeg skrev ikke, at h(t) ikke afhænger af Δt , men at dens differenskvotient Δh/Δt ikke afhænger af Δt . Δt er tilvæksten i tiden, ikke tiden t selv.

#6

Hvordan kan differenskvotienten ikke afhænge af Δt, når den står i nævneren i Δh/Δt?

#7

Højresiden af udtrykket Δh/Δt = -A/B · v(t) afhænger jo ikke af Δt . Derfor eksisterer grænseværdien.

#8

Okay, på den måde. Ellers ville Δt'erne gå ud med hinanden, hvis det var tilfældet.

Hvis v(t) = 0,6√(gh(t)), hvor g er tyngdeacceleration og h(t) er højden af vandstanden målt fra bunden af tanken, så står der: "The 'contraction factor' 0,6 was introduced because the stream has a smaller cross section than the area of the hole". Plejer man ikke at have en større hastighed, når et areal er mindre? Faktoren på 0,6 gør da hastigheden mindre.

#9

Fejl i formlen for v(t). Der skulle have stået: v(t) = 0,6√(2gh(t)).

#9

Du bliver nødt til at formulere hele opgaven. Det er umuligt at komme med fyldestgørende svar på de bidder af sammenhængen, som du præsenterr,

#11

Der er ikke mere i det. Prøv at se nederst på side 15:

http://math-cs.aut.ac.ir/~shamsi/Ebooks/Kreyszig/Ch1%20from%20Kreyszig%20-%20Advanced%20Engineering%20Mathematics%209e-4.pdf

#11

Se, for eksempel, http://books.google.com/books?id=ZQ3DZaUA4wsC&pg=PA93&lpg=PA93&dq=torricelli's+law+borda&source=bl&ots=q6yWBeyQcv&sig=GAwXxFwS1h43YJtI4HuBwFj2pl8&hl=en&sa=X&ei=GmLtUqiDEMrtoASB-4KIBg&ved=0CDIQ6AEwAg#v=onepage&q=torricelli's%20law%20borda&f=false

Selve strømningen har en mindre diameter end det fysiske huls diameter, og det er det, som korrektionsfaktoren tager højde for.

#13

Sådan som jeg forstår det, er faktoren ab jf. dit link lig 1, hvis der kun var et hul i bunden af tanken. Hvis nu der er et rør, der fortsætter efter hullet, bliver faktoren pludselig lig 0,6 og dermed gør gennemløbshastigheden mindre med en faktor på 0,6.

Ser vi på tanken fra oven og ned med et hul i bunden, så har strømningen da også samme diameter som hullet?