Matematik

Lineær differentialligning af 1. orden

10. februar 2014 af hug,go (Slettet) - Niveau: A-niveau

jeg er stødt på et lille problem i en matematikopgave, som jeg ikke kan løse. Jeg skal gøre rede for alle detaljer i udregningen nedenunder:

y'(t)+py(t)=q(t) (1)

Vi vil nu udlede en løsningsformel til differentialligningen (1). Det viser sig at være en god idé
at kigge på funktionen

h(t)=e^pt y(t)

i stedet for den oprindelige funktion y(t). Vi bestemmer først et udtryk for h'(t). Det nedenstående
gælder for alle t E I.

h'(t) =(e^pt y(t))^t

=pe^pt y(t)+e^pt y'(t)

=e^pt (py(t)+y'(t))

=e^pt q(t)

Jeg er på rimelig bar bund, men det er vel noget med at bruge panserformlen?

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

I det du har gengivet ovenfor drejer det sig om at differentiere funktionen h'(t) og benytte, at y(t) er en løsning til den viste differentialligning. Man kan så umiddelbart bestemme h(t) som en stamfunktion til højresiden.

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. februar 2014 af mathon

y' + p·y = q multipliceres med e^pt

e^pt·y' + p·y·e^pt = q·e^pt venstre side omskrives

(e^pt·y)' = q·e^pt der integreres med hensyn til t

e^pt·y = ∫q(t)·e^ptdt

e^pt·y = ∫₀q(t)·e^ptdt + C hvor ∫₀q(t)·e^ptdt er stamfunktionen med
integrationskonstanten 0

y = C·e^-pt + e^-pt· ∫₀q(t)·e^ptdt

Skriv et svar til: Lineær differentialligning af 1. orden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.