Korrektion til kurveintegralet

Du skal finde en parameterfremstilling for kurven. Her er valget r(x) = (x,x³ ). hvor x så bliver parameteren. Heraf får du r'(x) = (1, 3x²).

v·r'(x)  = (x*y, x²)·(1, 3x²)   = x*y+3x⁴  = x⁴+3x⁴. Det er så denne funktion dy skal integrere

#1

Det vil sige, at hvis r(t) = (x, x³), så er dr/dx = (1, 3x²) og dermed 

v•(dr/dx) = xy + 3x⁴ = x⁴ + 3x⁴ eller

v•dr = x⁴ dx + 3x⁴ dx. 

Vi får så kurveintegralet

∫ v•dr = _-1∫² x⁴ dx + _-1∫² 3x⁴ dx = ... Er det korrekt forstået?

sådan kan du også beskrive det

#2

Hvis du vælger at bruge t som parameter, skal du gøre det konsekvent:

r(t) = (t,t³) , dr/dt = (1,3t²)

#4

Du har ret. Havde ikke lagt mære til det.

r(t) = (x(t), y(t)) = (t, t³) og r'(t) dt = (x'(t) dt, y'(t) dt) dvs. dr = (dt, 3t² dt)

∫ v•dr = ∫ (xy, x³)•(dt, 3t² dt) = ∫ x⁴ dt + ∫ 3t²x³ dt ? (det ser ikke godt ud).

Er det muligt jeg kan se på din fremgangsmåde?

#5

Kurveintegralet er

J = _t1∫^t2 v(t)•(dr/dt) dt = _-1∫² [x⁴,x²]•[1,3x²] dx = ₁∫² (x⁴ + 3x⁴) dx = ₁∫² 4x⁴ dx = [(4/5)·x⁵]²_-1

                              = (4/5)·(2⁵ -(-1)⁵) = (4/5)·33 = 132/5

#6

Jeg forstår ikke, hvorfor (dr/dt) dt = [1,3x²] dx. Resten forstår jeg (selvom der er små tastefejl til grænser) og det giver den samme besvarelse i #2. Vi ved, at dr = (dx, dy) = (x'(t), y'(t)) dt, og så er vores tilfælde x '(t) = 1 og y '(t) = 3t². Hvordan hænger det så sammen til din fremgangsmåde? Er det tale om substitutionsmetoden, hvor man lader t = x, eller?

#7

Man benytter x som parameteren t. Ja, det er korrekt, at minustegnet i den nedre grænse blev "barberet" væk, så -1 blev til 1 ved en tastefejl, hvilket jeg beklager.