Matematik

differentialligninger opg 443

22. november 2005 af mettma (Slettet)

har lidt problemer med integrationen:

bestem diff.lign:
givet: dy/dx = (2y)/(x-4)

tre pkt'er:
A(5,1)
B(6,0)
C(2,4)

mine udregninger: g(y)=2y, h(x) = 1/(x-4)

S 1/(2y) dy = S 1/(x-4) dx <=> (1/4)y^2 = ln(x-4)+k

A:
k = (1/4)-0 =1/4
isolerer y:
y= kvdr((1/4)ln(x-4)+(1/8))

B:
k = 0-ln2 =-ln2
isolerer y:
y= kvdr((1/4)ln(x-4)-ln2)

C:
k = 4+ln2
isolerer y:
y= kvdr((1/4)ln(x-4)+4+ln2)

det er vist rimelig forkert, men detr var altså mit bud. håber i kan hjælpe! tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. november 2005 af fixer (Slettet)

Igen er det din bestemmelse af en stamfunktion der halter.

Der gælder nu

S[1/(2y)]dy = ½S[dy/y] = ½ln(y)+k, k E R

Svar #2
22. november 2005 af mettma (Slettet)

A(5,1):
k= (1/2)ln(1) - ln(5-4) = 0
isolerer y:
(1/2)lny = ln(x-4) <=> lny = 2ln(x-4) <=> y=2x-8

er det korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. november 2005 af fixer (Slettet)

Nej. Du smider en faktor 2 bort. Det må du ikke. Der gælder jo

2ln(a) = ln(a^2)

Desuden har du glemt integrationskonstanten.

Svar #4
22. november 2005 af mettma (Slettet)

nej for jeg har jo lige udregnet integreringskonstanten til at være lig 0!

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. november 2005 af fixer (Slettet)

Du kan ikke bestemme integrationskonstanten udfra differentialligningen. Den optræder jo slet ikke deri.

Man finder efter separation og integration

½ln(y) = ln(y^(½)) = ln(x-4) + k, k E R

Bestem heraf y(x) og fastlæg dernæst k udfra kravet y(5) = 1.

Svar #6
22. november 2005 af mettma (Slettet)

det er da præcis det jeg gør i #2:

A(5,1):
k= (1/2)ln(1) - ln(5-4) = 0
isolerer y:
(1/2)lny = ln(x-4) <=> lny = 2ln(x-4) <=> y=2x-8

der finder jeg konstantens værdi som er lig 0!

hvis ikke det er den konstant, hvad er det så for en??

Svar #7
22. november 2005 af mettma (Slettet)

jeg gør det bare i en anden rækkefølge!

Svar #8
22. november 2005 af mettma (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. november 2005 af Duffy

½ln(y) = ln(y^(½)) = ln(x-4) + k, k E R

------------------------

ln(y^(½)) = ln(x-4) + k

y^(½) = (x-4) + k

y = [(x-4) + k ]^2

-----------------------

Nu kan k så bestemmes:

y(5) = 1

1 = y = [(5-4) + k ]^2

1 = [ 1 + k ]^2

k = 0 v k = -2

Hvilket giver:

y(x) = [(x-4) + 0 ]^2

v

y(x) = [(x-4) - 2 ]^2

y(x) = (x-4)^2

v

y(x) = [(x-6)]^2

...

well, find nu selv ud af hvilken der går gennem de
bemeldte punkter.

Duffy

Svar #10
22. november 2005 af mettma (Slettet)

hvordan bliver det til to løsninger. Jeg gør således:

Nu kan k så bestemmes:

y(5) = 1

1 = y = [(5-4) + k ]^2

1 = [ 1 + k ]^2

kvdr(1) = 1 + k

k = 1 - 1 = 0

det er da ligeså korrekt, men får dog kun et svar...

Svar #11
22. november 2005 af mettma (Slettet)

og dermed er mit andet svar (hvor jeg bare finder konstantværdien lidt før i processen) da også korrekt!
hvis ikke, hvorfor er det så at det ikke er korrekt? er bare nysgerrig og kan ikke forstå det. :o)

Svar #12
22. november 2005 af mettma (Slettet)

#11

altså mit andet svar i #6

Svar #13
22. november 2005 af mettma (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #14
22. november 2005 af Duffy

y = [(x-4) + k ]^2

-----------------------

Nu kan k så bestemmes:

y(5) = 1

1 = y = [(5-4) + k ]^2

1 = [ 1 + k ]^2

k = 0 v k = -2

y(2) = 4

4 = y = [(2-4) + k ]^2

4 = [ -2 + k ]^2

k = 0 v k = 4

y(6) = 0

0 = y = [(6-4) + k ]^2

4 = [ 2 + k ]^2

k = 0 v k = -4

DET SES NU AT k = 0
VIRKER FOR ALLE 3 PUNKTER, SÅ:

Hvilket giver:

y(x) = [(x-4) + 0 ]^2

y(x) = (x-4)^2

Duffy

Svar #15
22. november 2005 af mettma (Slettet)

ok. har forstået at der er to løsninger og at min metode nok ikke var den bedste, fordi at der kun ville komme ét resultat ud af det med den!
MEN!, aner ikke hvilken af løsningerne jeg skal benytte! hvordan skal jeg finde ud af det??
PS. tak for al hjælpen.

Svar #16
22. november 2005 af mettma (Slettet)

#14
ups, sorry er lidt sent ude. glemte at opdatere, men er stadig i tvivl. forstår det virkelig ikke det du skriver. eller rettere, jeg forstår det hele, men hvad har de to andre punkter med pkt A at gøre og hvordan finder jeg den løsning der skal bruges? og hvad med de andre og deres to løsninger?
ked af det, men er meget forvirret. må have misforstået et eller andet!

Brugbart svar (0)

Svar #17
22. november 2005 af Duffy

Er du sød at skrive opgaven ORDRET op herinde.

Som jeg forstår det skal integral-kurven gå gennem de bemeldte punkter??!!

Duffy

Svar #18
22. november 2005 af mettma (Slettet)

Bestem til differentialligningen
dy/dx = (2y)/(x-4),
de tre løsninger, hvis grafer går gennem hhv.
a)A(5,1)
b)B(6,0)
c)C(2,4)

Brugbart svar (0)

Svar #19
23. november 2005 af Duffy

OKAY!!

Det er unægtelig noget andet end det du har skrevet i #0.

Vi skal altså have fat i 3 forskellige løsninger...

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #20
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#16:
Der er ikke to løsninger; eksistens- og entydighedssætningen sikrer, at der er netop én løsning i hvert tilfælde.

#18:
Via separation af variable (y != 0) og efterfølgende integration ledes man frem til

ln|y| = 2ln|x-4| + k = ln((x-4)^2) + k

og dermed

y(x) = C(x-4)^2 (*),

hvor C = ± e^k er en arbitrær konstant.
Da det er antaget, at y != 0, vil (*) dække tilfældene a) og c).

Initialværdien, som i hvert tilfælde aflæses i det givne punkt, fastlægger C entydigt, og da det endvidere kræves, at løsningerne skal være kontinuerte og differentiable i et så stort interval som muligt omkring A hhv. C, indser man, at de søgte, partikulære løsninger må være

a) y(x) = (x-4)^2, x > 4,

c) y(x) = (x-4)^2, x < 4,

(integralkurverne er parabelgrene).

Derudover resterer den trivielle løsning, y = 0, og man har således

b) y(x) = 0, x > 4,

(integralkurven er en halvlinje langs førsteaksen).

//Epsilon

Skriv et svar til: differentialligninger opg 443

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.