Optimering af dåse

Se på en cylinder, der skal have et bestemt volumen V. Bestem så cylinderens radius r og højde h, så at dens overfladeareal er mindst mulig.

Rumfang

V = π·r²·h

Overflade: A = 2·π·r² + 2·π·r·h

Udtryk h ved V og r og sindsæt det så i udtrykket for A. Find minimum for funktionen A(r).

Hvordan finder jeg minimum for A(r)? :)
 

#2

Ved at løse ligningen A'(r) = 0 .

Hvordan gør man så det? (Uden at lyde som en grammofonplade med hak i) :)

#4

Man har

π·r·h = V/r

hvorfor

A = 2·π·r² + 2·π·r·h = 2·π·r² + 2·V/r .

Differentier funktionen A(r) = 2·π·r² + 2·V/r og løs så ligningen A'(r) = 0 .

Jeg har:

h = 1616 / (Π • r²)  (Da rumfanget af dåsen er 1616 cm³)

Dåsens overflade: A = 2 • ∏ •r² + Π • r • ( 1616 / (∏ • r²))
 

A'(r) = 2 • ∏ • 2r + 2 • V/r ? .-)

Det fast rumfang er V. Man har så

A'(r) = 4·π·r - 2·V/r² og dermed

A'(r) = 0 

4·π·r - 2·V/r² = 0 , dvs.

r³ = V/(2π) ,

eller

r = [V/(2π)]^1/3 = 2^-1/3 · (V/π)^1/3

h = V/(π·r²) = (V/π)·(2π/V)^2/3 = 2^2/3 · (V/π)^1/3  = 2r .

Mange tak, det sætter det hele lidt mere i perspektiv - hvordan fortsætter jeg så herfra?

#8

Beregn de optimale værdier for r og h for de forskellige rumfang, der er omtalt, og sammenlign med de faktiske værdier for de forskellige beholdere.

Okay, mange tak :)

Rumfang V = πr²h.............h = V/(πr²)

Overflade: A = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2V/r

A' = 4πr - 2V/r² = 0

4πr = 2V/r²............gang med r² ≠ 0

4πr³ = 2V = 2πr²h............forkort med 2πr²

2r = h

;-)

Se vedhæftede. Det kan måske hjælpe dig til lidt yderligere forståelse selvom de andre har svaret ret udførligt.

Mange tak, det sætter jo det hele i perspektiv. Jeg er nu stadigvæk i tvivl vdr. at sætte funktionen lig 0 :)

#13

Hvad er du i tvivl om der? Man skal løse ligningen A'(r) = 0 , se #7 .

Det lyder som om et kunne gavne dig meget at læse bogen virkelig, virkelig nøje :) Det er altså nogle gange nødvendigt.

Hvorfor lig 0 ?

Du må forestille dig A(r) som kurve. Det vil være en sur parabel. Hvad viser tangenten til parablen A ' (r) ? Den viser hvornår der er en optimal sammenhæng imellem anvendt materiale og rumfang. 

Derfor skal den sættes lig nul - nul er jo dér, hvor tangenten er vandret, fordi den viser hvornår du får mest y ud af x. Og når tangenten er vandret, så kan sammensætningen lige nøjagtig kun blive dårligere. Ergo må den være optimal. 

Men din bog beskriver emnet ret udførligt så prøv at tage de langsomme læsebriller på ;) Det var jeg også selv nødt til.