Matematik
Lokalt minimumspunkt eller maksimumspunkt
Hej. Jeg har brug for hjælp til denne opgave og har vedhæftet mine udregninger indtil videre.
Selve opgaven:
Funktionen z = g(x,y) er defineret implicit ved ligningen
2x3y+xz3+yz2+xy3-8x-6y+(x-1)2=-9
i omegn af punktet (1,1,1)
Bestem om punktet (1,1) er et lokalt minimumspunkt for funktionen g(x,y) eller om punktet (1,1) er et lokalt maksimumspunkt for funktionen g(x,y)
Svar #1
17. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
Benyt ligningen til at beregne
∂z/∂x , ∂z/∂y, ∂2z/∂x2 , ∂2z/∂x∂y, og ∂2/∂y2 i punktet (x,y,z) = (1,1,1)
Svar #2
17. februar 2014 af hansmøk (Slettet)
#1Benyt ligningen til at beregne
∂z/∂x , ∂z/∂y, ∂2z/∂x2 , ∂2z/∂x∂y, og ∂2/∂y2 i punktet (x,y,z) = (1,1,1)
Jeg synes denne ligning ser lidt uoverskuelig ud, men som jeg kan se så skal skal jeg partiel differentere og dernæst sætte punktet (1,1,1) ind? Hvis jeg får under 0 så er det et lokalt maksimumspunkt og hvis den er over så er det et lokalt minimumspunkt?
Svar #3
17. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Man skal se på determinanten af Hesse-matricen, ja.
Svar #4
17. februar 2014 af hansmøk (Slettet)
#3#2
Man skal se på determinanten af Hesse-matricen, ja.
Jeg ved ikke om du har kigget på den fil jeg har lagt op, men nu ligger jeg den op igen. Som det fremgår af Mathematica har jeg partiel differenteret x, y, z og dernæst sat dem sammen til en 3x3 hessematrice. Determinanten af denne får jeg til 22. Hvad kan vi konkludere ud fra dette?
Svar #5
17. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
Du skal se på determinanten af matricen
∂2z/∂x2 ∂2z/∂x∂y
H =
∂2z/∂x∂y ∂2z/∂y2
Svar #6
17. februar 2014 af hansmøk (Slettet)
#5#4
Du skal se på determinanten af matricen
∂2z/∂x2 ∂2z/∂x∂y
H =
∂2z/∂x∂y ∂2z/∂y2
Jeg kan ikke rigtigt se hvordan jeg skal få en 2x2 hessematrice da jo har 3 variabler. Har du mulighed for at give en uddybende forklaring på hvordan jeg kommer frem til at få det til at være en 2x2 hessematrice. Det ville virkelig være en stor hjælp.
Svar #7
17. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Som nævnt i #1 skal man benytte den implicitte ligning for z = g(x,y) til at beregne de partielle afledede ∂z/∂x , ∂z/∂y, ∂2z/∂x2 , ∂2z/∂x∂y, og ∂2z/∂y2 hvor (x,y,z) = (1,1,1).
Ligningen er
2x3y +xz3 +yz2 +xy3 -8x -6y +(x-1)2 = -9 .
Differentieres efter x, får man
6x2y + z3 + 3xz2·∂z/∂x + 2yz·∂z/∂x + y3 -8 +2·(x-1) = 0 ,
hvor man ved indsættelse af (x,y,z) = (1,1,1) finder
6 + 1 + 3·∂z/∂x + 2·∂z/∂x + 1 -8 = 0 , dvs
5·∂z/∂x = 0 , eller ∂z/∂x = 0 .
Differentierer man igen efter x, får man
12xy + 3z2·∂z/∂x +3z2·∂z/∂x + 6xz·(∂z/∂x)2 + 3xz2·∂2z/∂x2 +2y·(∂z/∂x)2 +2yz·∂2z/∂x2 + 2 = 0 ,
hvor man ved indsættelse igen (x,y,z) = (1,1,1) og ∂z/∂x = 0 finder
∂2z/∂x2 = -14/5
Skriv et svar til: Lokalt minimumspunkt eller maksimumspunkt
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.