Omskrivning af differentialkoefficient

#0: Benyt reglerne for differentiation af en sammensat funktion.

Ligner du bare skal anvende kædereglen. Men ved jo ikke hvor grundig din argumentation skal være...

d/dx log y(x) = 1/y(x)   *  d/dx  y(x)   if. kæderegel.....

så du skal "bare" foretage differentieringen af dit udtryk nummer to tænker jeg

#1

Hvad er det, der er sammensat her? Jeg er ikke helt med.

#3: Som #2 skriver har du en funktion ln(y), hvor y er en funktion af en anden variabel, x. Dermed har du en sammensat funktion af g(y(x)), hvor g(x) = ln(x).

Kædereglen kaldes også for kernereglen fordi man har en funktion

g(y(x))

hvor x står inderst inde helt inde i "kernen" af funktionen...reglen siger så at man først skal differentiere det "ydre", dvs. man læser g(y(x)) som g(y) hvor man ignorerer der er et indre x, så man differentierer mht. y, hvorefter man differentierer det indre mht. x og så er man nået ind til kernen:

d/dx g(y(x)) = d/dy g(y)  * d/dx y(x)

Idet y = y(x), og y ≠ 0 , har man

y'(x) / y(x) = (1/y)·(dy/dx) = ^d/_dy(ln(|y|)) · (dy/dx) = ^d/_dx(ln(|y|))

#4 og #5

Hvorfor er det I vil regne baglæns (eller har jeg misforstået noget?), når det er u''/u' = - 2 y'/y - a, der er vores startudtryk?

#6

Hvordan gik du videre fra (1/y)·(dy/dx)? Hvad med det andet led med u''/u' som giver d/dx (ln(|u'|))?

#7

Det andet led med u'' og u' foregår helt på samme måde, hvor man erstatter y med u' og y' med u'' . Om funktionen hedder y eller u' spiller vel ikke den store rolle.

Opdatering:

Jeg har fanget pointen nu!

Hvordan kommer jeg fra: d/dx (ln(u')) = -2 d/dx (ln(y)) - a

til: ln(u') = -2 ln(y) - ax + c?

Hvis jeg sætter integrationstegn på begge sider af lighedstegnet, så skal jeg vel ikke have konstanten, her a, med, vel?
 

#9

Ved at integrere mht. x på hver side. Ja, en stamfunktion til -a er jo -ax .

#10

Er jeg nødsaget til at integrere samtlige led til højre for lighedstegnet? Jeg kan ikke integrere venstresiden og kun d/dx (ln(y)) til højre for lighedstegnet, vel?

#11

Man integrerer alt på begge sider af lighedstegnet.

En stamfunktion til venstresiden er jo   ln(u') .

En stamfunktion til højreiden er    -2·ln(y) -ax + c .

#12

Tak for forklaringen.