Middelværdisætning og sinh(x) / cosh(x)

Definer f(x) = sinh(x) -x  f(0) = 0

f'(x) = cosh(x)-1  f¨(0) = 0

f''(x) = sinh(x)  >0 for x > 0

Deraf kan du slutte at f'(x) > 0 for x > 0

og deraf igen at f(x) > 0 for x >0

Men ja skal jo finde frem til at sinh(x) > x , det lader til at du slutter at f(x)>0 i stedet for? :)

Nej. Jeg slutter at f(x) > 0 <=> sinh(x)-x > 0 <=> sinh(x) > x

#3 Har metoden nogen forbindelse med middelværdisætningen?

Middelværdisætningen siger, at hvis funktionen f(x) er kontinuert på intervallet [a,b] og differentiabel i det åbne interval ]a,b[ , så findes der et ξ ∈ ]a,b[ , så at

f '(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a) .

Vi lader nu funktonen f(x) = sinh(x) = (e^x - e^-x)/2 . Vi ser, at f '(x) = (e^x + e^-x)/2 = cosh(x) > 1 for alle x. Sætter vi nu a = 0 , b = x > 0 , har vi, at der findes et ξ med 0 < ξ < x , så at

f '(ξ) = (f(x) - f(0)) / (x - 0) ,

og da f(0) = sinh(0) = 0 , og da f '(ξ) > 1 , har vi for ethvert x > 0, at

sinh(x) / x > 1 , eller

sinh(x) > x , for ethvert x > 0 .

Tak for hjælpen @Andersen11.

Har et lille spørgsmål mere, idet jeg har vist at tanh'(x)=1/cosh^2(x)=1-tanh^2(x) for alle x i R.

Herudfra konkluderes at tanh(x) er strengt voksende på hele R.

Hvad er funktionens billedmængde?

Prøv at se på hvad der sker for for x -> ±∞

delete

#6

Da cosh(x) ≥ 1 for alle x, er tanh'(x) = 1/cosh²(x) > 0 for alle x, og specielt 0 < tanh'(x) < 1 for x > 0 .

Ved at benytte sammen fremgangsmåde som i #5, ser vi, at der for x > 0 findes et ξ med 0 < ξ < x så at

tanh'(x) = (tanh(x) - tanh(0)) / (x - 0) = tanh(x)/x < 1 ,

hvorfor der gælder

tanh(x) < x , for x > 0 .

Er dette billedmængden ?
Tror du svarer på det oprindelige spørgsmål , men stilte et helt nyt i #6 :)

Men ja brugte samme metode for det andet spørgsmål, præcis som du gjorde i #9.

#10

Nej, det var netop i forlængelse af det oprindelige spørgsmål. For bestemmelsen af billedmængden for tanh(x), følg Peter Linds anvisning i #7. Det er vist, at funktionen tanh(x) er strengt voksende.

Okay har fået styr på de opgaver nu.
Har et ekstra spørgsmål som er det sidste i afleveringen:
Lad f: [a,b] -> R være kontinuert på det afsluttede, begrænsede interval [a,b].
Antag endvidere at f er differentiabel på det åbne interval (a,b). Antag at der findes et tal c element i R så:
f'(x) -> c for x -> a+.

Vis at f er differentiabel i endepunktet a med f'(x) = c.
Vink: brug middelværdisætningen.

Okay har fået styr på de opgaver nu.

Har et ekstra spørgsmål som er det sidste i afleveringen:

Lad f: [a,b] -> R være kontinuert på det afsluttede, begrænsede interval [a,b]. Antag endvidere at f er differentiabel på det åbne interval (a,b). Antag at der findes et tal c element i R så: f'(x) -> c for x -> a+.

Vis at f er differentiabel i endepunktet a med f'(x) = c. Vink: brug middelværdisætningen.

Ingen der er behjælpelig? :)