Egenvektorer

De to vektorer er da ortogonale. Man har

v₁ • v₂ = Δ² + ξ_k² -(ξ_k² + Δ²) = 0

Nej for delta kan have en fase, den er kompleks. I den ene kvadratrod står der absolutværdien i anden, den anden står der bare delta i anden.

Hvordan kommer jeg af med fasen?

#3

Jeg havde overset, at Δ var kompleks. Så har man i stedet

v₁ • v₂ = Δ·Δ^* + (ξ_k -√(ξ_k² +|Δ|²))·(ξ_k +√(ξ_k² +|Δ|²))^*

           = |Δ|² + ξ_k² -(ξ_k² + |Δ|²)  = 0

I komplekse vektorrum defineres det indre produkt ved

(x₁,x₂,...,x_n) • (y₁,y₂,...,y_n) = x₁·y₁^* + x₂·y₂^* + ... + x_n·y_n^* ,

hvor ^* benyttes for kompleks konjugering.

Okay tak det hjalp lidt. Men jeg har stadig et problem. Siden A er hermitisk burde den kunne diagonaliseres af en unitær matrix, dvs. at det vedhæftede matrixprodukt burde være proportionalt med enhedsmatricen. Hvorfor får jeg ikke det?

#5

Vektorerne i H skal være et ortonormalsæt.

Sætter vi

        λ = √(ξ_k² + |Δ|²)

har vi for den unitære matrix

hvor

        c₁·c₁^*·Δ·Δ^* + c₁·c₁^*·(ξ_k² + ξ_k² + |Δ|² - 2ξ_k·λ) = 1

og

        c₂·c₂^*·Δ·Δ^* + c₂·c₂^*·(ξ_k² + ξ_k² + |Δ|² + 2ξ_k·λ) = 1 ,

dvs.

        c₁·c₁^* = 1/(2λ(λ - ξ_k))

        c₂·c₂^* = 1/(2λ(λ + ξ_k))

og dermed

okay tak, jeg havde overset, at de skulle orthonormaliseres med hver sin konstant.

Nu kan jeg se, at min aflevering ville de have en lidt anden fremgang. Som det fremgår på den vedhæftede skal man introducere en unitær matrix og så kræve, at den diagonaliserer H for at få egenværdierne. Men den introducerede matrix med u_k og v_k ses at være hermitisk, mens den du har fundet ikke er det. Hvordan kan det bare kræves at den unitær matrix skal være hermitisk, de ting er da ikke nødvendigvis ensbetydende?

Okay jeg kan se den faktisk ikke er hermitisk. Men som du kan se er der uanset hvad nogle relationer mellem diagonal og antidiagonalelementerne, som jeg ikke kan se hvor kommer fra.