Matematik

HASTER: 1. ordens differentialligninger

17. marts 2014 af ChristopherSøndergaard (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.

Jeg er gået i stå i disse (vedhæftede) opgaver og har brug for et hurtigt (brugbart) svar.
x₁ = 2,
x₂ = 3,
x₃ = 4

1) Min funktion:
$y(t)'+6t^3*y(t)=-7t^3$

Dvs.
$p(t)=6t^3 \wedge q(y) = -7t^3$

Stamfunktionen til p(t):
$P(t)=\frac{3}{2}t^4$

Den fuldstændige løsning kan findes ved Panserformlen:
$y(t)=e^{_{-(3/2)t^4)}}*\int(e^{_{(3/2)t^4}}*(-7t^3))dt$

Hvordan kommer jeg videre herfra?

2)
Hvordan kommer jeg i gang?

$y'(t)=\frac{3t^2+13}{y(t)}$

På forhånd tak
Christopher

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2014-03-17 kl. 08.57.42.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. marts 2014 af mathon

$\int e^{\frac{3}{2}}^{t^4}\cdot \left ( -7t^3 \right )dt$

sæt $u = \frac{3}{2}t^4$ og dermed $-\left ( \frac{7}{6} \right )du = -7t^3dt$

hvoraf

$\int e^{\frac{3}{2}}^{t^4}\cdot \left ( -7t^3 \right )dt =-\frac{7}{6} \int e^udu =-\frac{7}{6}\cdot e^u + C = -\frac{7}{6}\cdot e^{\frac{3}{2}t^4} + C$

dvs

${\color{Red} y(t)}=e^{-\frac{3}{2}t^4}\cdot \int e^{\frac{3}{2}t^4}\cdot \left ( -7t^3 \right )dt =e^{-\frac{3}{2}t^4}\cdot\left ( C-\frac{7}{6}\cdot e^{\frac{3}{2}t^4} \right )={\color{Red} Ce^{-\frac{3}{2}t^4}-\frac{7}{6}}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
17. marts 2014 af mathon

$y\cdot \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} t} = 3t^2+13$

$ydy=\left (3t^2+13 \right )dt$

$\int ydy=\int \left (3t^2+13 \right )dt$

$\frac{1}{2}y^2=t^3+13t+C_1$

$y^2=2t^3+26t+C$

$y=\pm \sqrt{2t^3+26t+C}$

Svar #3
17. marts 2014 af ChristopherSøndergaard (Slettet)

1)

$\int e^{\frac{3}{2}}^{t^4}\cdot \left ( -7t^3 \right )dt$

sæt $u = \frac{3}{2}t^4$ og dermed $-\left ( \frac{7}{6} \right )du = -7t^3dt$

Mange tak for den brugbare information.
Jeg er med på, at u sættes til (3/2)*t^4, men hvordan kommer du videre til det næste?

Brugbart svar (1)

Svar #4
17. marts 2014 af mathon

$u = \frac{3}{2}t^4$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}=6t^3$

$\frac{1}{6}du=t^3dt$

I specifikt denne opgave har vi brug for et udtryk på formen $-7t^3dt$

hvorfor der multipliceres med $-7$ på begge sider.

$-\frac{7}{6}du=-7t^3dt$

Svar #5
17. marts 2014 af ChristopherSøndergaard (Slettet)

Tak for det.

Er vi enige i, at c nu skal bestemmes og indsættes i ligningen, således at den partikulære ligning kan bestemmes? (Altså i 2'eren)

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, konstanten C bestemmes ud fra betingelsen y(0) = 2 . Da y² = 2t³ + 26t + C , gælder der at C = 4 . Desuden fremgår det så, at kun den positive kvadratrod kan benyttes, dvs

$y(t)=\sqrt{2t^{3}+26t+4}$

Skriv et svar til: HASTER: 1. ordens differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.